Cette tour circulaire vue de l'extérieur avec un rayon de 5 mètres a une architecture intérieure pour le moins originale : les salles des trois premiers étages ont la forme de polygones réguliers et ont des nombres différents de murs tous > 3 .
1) Quand on se place en un point quelconque P de la première salle, on constate à l'aide d'un senseur à rayon laser dirigé perpendiculairement aux murs que la somme S₁ des distances de P à ces murs reste toujours la même. Peut-on en déduire la forme de cette première salle ?

Dans quelles conditions peut-on observer que les sommes  S₂ et S₃ dans les 2^ème et 3^ème salles restent constantes quand on circule à l'intérieur de chacune d'elles?

2) Les coins des murs des deux premières salles sont sur des cercles de même rayon  et à moins de 15 centimètres près, les distances 3S₁ et S₂ sont identiques. En déduire la forme de la deuxième salle.
3)Les périmètres des 2^ème et 3^ème salles sont identiques tandis que les distances 2S₃  et S₂ sont identiques toujours à moins de 15 centimètres près. En déduire la forme de la troisième salle.