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Plus de 2000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :

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D619. Deux fois sur trois Imprimer Envoyer
D6. Constructions avec règle et compas
calculator_edit.png  
On trace trois polygones réguliers, respectivement un pentadécagone (15 côtés), un heptadécagone (17 côtés) et un octadécagone (18 côtés). Deux sur trois peuvent être tracés avec une règle et un compas. Lesquels ?
Nota : on ne demande pas le tracé des deux polygones.

On numérote les sommets de chaque polygone de 1 à n (n = 15,17 et 18) dans le sens trigonométrique et à l’intérieur de chacun d’eux on trace trois cordes dont les extrémités sont désignés par les numéros des sommets (a,b) à savoir (1,6), (2,8) et (3,11) dans le pentadécagone, (1,7), (3,16) et (4,17) dans l’heptadécagone et enfin (1,8), (5,14) et (6,16) dans l’octadécagone. Les trois figures ci-après font croire que les trois cordes sont concourantes dans chacun des trois polygones.
Dans deux figures sur trois,c’est faux. Lesquelles ? Justifier votre réponse.

 

d619.jpg

Claude Felloneau,Jean Moreau de Saint Martin,Michel Lafond,Patrick Gordon,Philippe Bertran,Yannick Huet,Maurice Bauval et Claudio Baiocchi ont résolu le problème et sont arrivés aux mêmes conclusions:
1) seuls le pentadécagone et l'heptadécagone sont constructibles avec la règle et le compas
2) seul l'octodécagone avait ses trois diagonales concourantes.
Claude Felloneau et Jean Moreau de Saint Martin nous signalent que le problème de l'intersection des diagonales dans un polygone régulier a été traité par Dominique Roux et Claude Morin dans l'article "Classification des noeuds diagonaux dans les polygones réguliers" du numéro 45 de la revue Quadrature .De manière générale on peut affirmer que dans un polygone régulier ayant un nombre impair de côtés, trois diagonales ne sont jamais concourantes, ce théorème ayant été démontré en 1962 par H.Heineken (texte en allemand).

 

 
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