Un pion occupe une case d'un damier sans frontières, au nombre de cases illimité. Il ne peut se déplacer que d'une seule case à la fois, à droite, à gauche, en haut ou en bas, jamais en diagonale. Les 4 possibilités de déplacement (G,D,H,B) sont équiprobables, le pion peut bien entendu repasser plusieurs fois sur les mêmes cases.

Au bout de 10 déplacements, quelle est la probabilité que ce pion se trouve :

- à la case de départ ?
- dans un carré de 5 fois 5 cases dont la case centrale est la case de départ ?
- à l'intérieur d'une croix grecque dont les quatre branches égales de longueur 10 sont adjacentes à la case de départ. ?

Pour les plus courageux, mêmes questions au bout de n déplacements avec un carré de côté k en 2) et une croix grecque dont les branches sont de longueur n.

Ce problème est proposé par Michel Boulant