Vous écrivez une suite d’entiers dont le premier terme est un entier naturel quelconque N. Chaque terme de la suite est choisi par tirage au sort avec égalité des chances parmi les diviseurs de l’entier qui le précède (1 et l’entier lui-même sont inclus dans le tirage). Vous poursuivez l’écriture de la suite jusqu’à ce que vous obteniez 1 pour la première fois :

Par exemple, soit u₁ = N = 6. Le terme est choisi parmi les 4 diviseurs 1,2,3 et 6 de u₁ , chacun d’eux avec une probabilité 1/4. Si l’on obtient 3, le terme est choisi parmi les entiers 1 et 3, chacun d’eux avec une probabilité 1/2 ,etc… On peut ainsi obtenir la suite 6,3,3,3,1 mais il y a bien d’autres suites possibles : 6,6,2,2,1 ou bien 6,6,6,1 ou bien 6,3,1 ou bien 6,1 etc…

On appelle E(N) l’espérance mathématique du nombre de termes de la suite.

Quel est le plus petit entier N tel que E(N) > 4 ? [*** à la main]

Pour les plus courageux, quel est le plus petit entier N tel que E(N) > 5 ? [** avec ordinateur]

Source : d’après USA Mathematical Talent Search 2005-2006