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Plus de 2000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :

Très facile

Facile

Moyen

Difficile

Très difficile

Variable

 

D'autre part, les problèmes se traitent généralement à la main et sont alors repérés par l'icône

 

Pour faciliter leur résolution, l'ordinateur peut être utile. Dans ce cas, vous verrez apparaître aussi cette icône

 

Quand l'ordinateur est indispensable, l'icône figure seule.

 

Pour avoir accès aux solutions de chaque problème, cliquez sur solution.

 

Les figures et les graphes ont été réalisés grâce au logiciel Declic.

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G113. La suite aléatoire de diviseurs Imprimer Envoyer
G1. Calcul des probabilités

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Vous écrivez une suite d’entiers dont le premier terme est un entier naturel quelconque N. Chaque terme de la suite est choisi par tirage au sort avec égalité des chances parmi les diviseurs de l’entier qui le précède (1 et l’entier lui-même sont inclus dans le tirage). Vous poursuivez l’écriture de la suite jusqu’à ce que vous obteniez 1 pour la première fois :

Par exemple, soit u1 = N = 6. Le terme est choisi parmi les 4 diviseurs 1,2,3 et 6 de u1 , chacun d’eux avec une probabilité 1/4. Si l’on obtient 3, le terme est choisi parmi les entiers 1 et 3, chacun d’eux avec une probabilité 1/2 ,etc… On peut ainsi obtenir la suite 6,3,3,3,1 mais il y a bien d’autres suites possibles : 6,6,2,2,1 ou bien 6,6,6,1 ou bien 6,3,1 ou bien 6,1 etc…

On appelle E(N) l’espérance mathématique du nombre de termes de la suite.

Quel est le plus petit entier N tel que E(N) > 4 ? [*** à la main]

Pour les plus courageux, quel est le plus petit entier N tel que E(N) > 5 ? [** avec ordinateur]

Source : d’après USA Mathematical Talent Search 2005-2006

 

 
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