A partir de l'énoncé du problème D179, Dominique Roux pose le problème suivant :
On donne deux points A et C. Pour tout point B, on désigne par D sa projection orthogonale sur AC et par I , E, F les ...
Problème proposé par Dominique Roux On donne 2 points A et C. Pour tout point B soit D sa projection orthogonale sur AC. On désigne par I1 , I2 , I3 , I4 les centres des 4 cercles tangents aux 3 côtés ...
Problèmes proposés par Dominique Roux 8ème épisode Deux points A et C étant donnés, pour tout point B que l'on projette en D sur AC, on considère les centres des cercles inscrits des 3 triangles obtenus ...
Problème proposé par Michel Lafond Un entier naturel n étant donné, il s’agit de placer tous les carrés de côtés 1, 2, 3, …, n sans empiètement dans un rectangle. Pour un placement donné on note ...
Trouver le triangle d'aire minimale qui couvre n'importe quel triangle dont les longueurs des côtés n'excèdent jamais la valeur 1.
Ce problème a donné lieu à des analyses variées : la solution ...
Dans un triangle ABC non isocèle on trace six points : le centre O du cercle circonscrit, le centre I du cercle inscrit, l'orthocentre H, le centre de gravité G, le centre Ω du cercle d'Euler et le ...
Est-il possible de couvrir une table circulaire qui a un diamètre strictement supérieur à 1 mètre avec deux morceaux d'une nappe carrée de 1 mètre de côté? Si oui, essayez d'évaluer le diamétre ...
Démontrer que le centre du cercle circonscrit à un triangle ABC, le centre du cercle d’Euler et les deux points de Fermat* sont sur un même cercle. * voir http://mathworld.wolfram.com/FermatPoints.html ...
Démontrer qu'on sait trouver six points du plan X1,Y1,Z1,X2,Y2,Z2 tels que les huit triangles XiYjZk sont tous semblables avec 1 ≤ i, j, k ≤ 2. Application numérique : on choisit les coordonnées ...
Problème proposé par Michel Lafond Existe-t-il une fonction de dans dont le graphe en repère orthonormé possède exactement 3 axes de symétrie ?
Stephane Vénéreau,Marie-Christine ...
Problème proposé par Jean-Louis Aymé Soient un triangle ABC, (Γ) son cercle circonscrit et I le centre de son cercle inscrit. On trace un point P sur le côté BC, puis le milieu M de IP et enfin le ...
Problème proposé par Dominique Roux Ce problème est le quatrième épisode d’une saga qui en comportera cinq sur le thème(1) : Combien de carrés peut-on inscrire dans un quadrilatère ? On considère un ...
Problème proposé par Dominique Roux
Ce problème est le dernier épisode d’une saga qui en a comporte cinq sur le thème(1) : Combien de carrés peut-on inscrire dans un quadrilatère ? Le document ‘Combien ...
Problème proposé par Maurizio Morandi Un demi-cercle de rayon 1 est couvert par trois cercles égaux. Trouvez le rayon minimum des trois cercles.
Par ordre alphabétique Maurice Bauval,Guido Bombi,Daniel ...
On se fixe un entier n > 1 et on considère une suite de sept carreaux de forme carrée d’aires respectives, exprimées en cm² : n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5 et n + 6, que l’on place ...
Problème proposé par Etienne Desclin Voici une liste d’affirmations, numérotées de 1 à 10, permettant de trouver un nombre naturel inconnu n. Malheureusement, ces affirmations ne sont pas ...
Il est bien connu que dans tout polygone régulier, chaque sommet est à égale distance de deux autres sommets au plus. Tracer à la règle et au compas un ennéagone convexe tel que chaque sommet est à ...
Problème proposé par Christian Romon
Trouver au moins quatre dimensions de carrés pavables par des rectangles dont toutes les dimensions (longueurs et largeurs)sont distinctes entre elles et constituent ...
Problème proposé par Thérèse Eveilleau
1) Ranger 50 bouteilles de diamètre 10 cm dans un casier rectangulaire de dimensions 80 cm x 60 cm. 2) Ranger 49 bouteilles de diamètre 10 cm dans un casier carré ...
On considère deux entiers positifs a et b tels que la division euclidienne de a2+b2 par ab+1 ne donne pas de reste. Montrer que le quotient est un carré parfait. Problème des Olympiades internationales ...
1) Le mot SEXTET est l'un de ceux que l'on peut former en permutant les lettres de XETTES. a) Combien de ``mots'' distincts (ou codes de six lettres, sans exiger qu'ils soient prononçables ou ...
Grille revue avec le concours de Vincent Vermaut. Une fois n’est pas coutume, la grille à remplir n’a pas la dimension traditionelle 9 x 9 mais elle est de taille beaucoup plus réduite 5 x 5. Le ...
Grille proposée par Etienne Desclin. Philippe Laugerat,Jean Michel Bernard et François Bulot ont résolu la grille dont voici la solution:
L’entreprise Enigmatix envisage de faire construire sur un vaste terrain k entrepôts ( k <10) avec une voie de circulation directe entre chaque couple d’entrepôts. On suppose que trois entrepôts ...
Grille proposée par Etienne Desclin Philippe Laugerat,Jean Michel Bernard et Vincent Vermaut ont résolu la grille dont voici la solution:
Etienne Desclin et Thierry Genoud ont trouvé les deux grilles. Le nombre narcissique commun aux deux grilles est en I2: 548 834.
Q1 J’ai sur mon bureau un globe terrestre assimilé à une sphère parfaite de rayon R . Je choisis n points au hasard* sur le globe. Quelle est la probabilité pour qu’ils soient tous situés sur l’hémisphère ...
En 2000, l'Institut Mathématique de Clay a lancé sept défis mathématiques réputés insurmontables qui ont été appelés les Problèmes du millénaire. La démonstration de l'un d'eux (la conjecture de Poincaré) ...
Problème proposé par Michel Lafond Un coupon est un ensemble de carrés d'un seul tenant connectés par des côtés (autrement dit un polymino) qui est découpé dans le seul billet de 90 écus existant ...
Problème proposé par Richard Riedel.
Dans un rectangle de hauteur H et de largeur L (H≤ L) qui comporte HxL cases, on noircit un certain nombre d’entre elles et dans chaque case on inscrit le ...
Je trace un octogone régulier (O) et j'inscris sur chacun de ses huit sommets un entier naturel positif. J'écris sur les milieux des côtés les différences en valeur absolue des nombres qui se trouvent ...
A l'issue du colloque sur les Problèmes du millénaire (voir
rubrique H133),cinq mathématiciens de nationalités différentes s'apprêtent à
acheter l'ouvrage qui reprend les minutes des principales ...
Problème proposé par Jean Drabbe
Quatre familles composées chacune de quatre
personnes constatent qu'elles ont toutes la même somme des âges de leurs
membres (âges exprimés en ...
Soit N = np + pn avec n et p entiers
naturels positifs.
Quand n et p sont de même parité, N est évidemment composé
car c'est toujours un nombre pair.
Qu'en ...
Soit E l'ensemble des entiers naturels de 1 à n. On partage
E en deux sous-ensembles disjoints E1 et E2 tels que la somme de
deux éléments quelconques distincts de chaque ...
Un ensemble E de k entiers positifs distincts entre eux est
appelé k-uple diophantien (kD) avec la propriété D(n),[n entier relatif], si
quels que soient ...
On constitue n paires de nombres dont les 2n termes tous différents entre eux sont choisis parmi les 2n premiers entiers naturels 1,2,3,...2n. Les n sommes des termes des paires sont toutes relativement ...
Un nombre premier est
dit « absolu » (NPA) si toute permutation de ses chiffres donne aussi
un nombre premier (par exemple 13 et sa permutation
31).
Q1 : Démontrer ...
Hippolyte et Théophile ont atteint la finale du concours annuel d'arithmétique d'Alexandrie. Le jury a décidé de les faire plancher ensemble à l'oral. Le président ...
On trace dans la plan deux sous-ensembles A et B de 2009
points chacun. Tous les points sont distincts entre eux et trois d'entre eux ne sont jamais sur la même
droite. ...
Q1 - Décrire un cercle dans le plan qui passe exactement par 7
points de coordonnées entières. Trouver un tel cercle de rayon minimum.
...
Cette grille est proposée par Jean-Michel BERNARD. Elle contient des nombres premiers organisés en une suite en progression arithmétique (NPPA). Un terme de rang i de la suite vaut Ni = N0 + ...
Philippe Laugerat , François Bulot et l'auteur de la grille Jean Michel Bernard ont résolu la grille dont voici la solution: ...
Philippe Laugerat ,François Bulot, Jean Michel Bernard ont résolu la grille dont voici la solution:
Grille proposée par Philippe Laugerat
Claudio Baiocchi et François Bulot ont résolu la grille dont voici la solution 222212221 210002111 222010100 111011201 110122100 122012121 110220111 222110000 ...
Etienne Desclin et Philippe Laugerat ont trouvé la solution qui est assez coriace à trouver.
Nicolas Pierre, Jean Nicot, Fady Hajjar et Etienne Desclin ont résolu la grille. A noter que la définition de F mérite d'être complétée: le plus petit carré supérieur à G ...
Cette grille est proposée par Etienne Desclin
Philippe Laugerat,Claudio Baiocchi et Vincent Vermaut ont résolu la grille dont voici la solution donnée par l'auteur lui-même.
...
Philippe Laugerat, Etienne Desclin et Claudio Baiocchi ont résolu la grille dont la solution est la suivante:
Philippe Laugerat, Vincent Vermaut,Etienne Desclin et Claudio Baiocchi ont résolu la grille dont la solution est la suivante:
On rappelle qu'une séquence est constituée par des entiers consécutifs pris dans un ordre croissant
ou décroissant.
Philippe Laugerat, Ludovic Houset, Jean Bernard Roux et Etienne ...
J'appelle « gentil » tout point qui se trouve exactement à l'intersection de trois droites distinctes du plan. Pour tout n supérieur ou
égal à 3, je trace successivement 1,2,3,...n droites dans ...
Grille proposée par Vincent Vermaut
Philippe Laugerat et Etienne Desclin ont résolu cette grille particulièrement difficile.
A noter que pour faciliter la résolution de ...
Grille proposée par Etienne Desclin
Philippe Laugerat ,Jean Michel Bernard et Vincent Vermaut ont résolu la grille dont voici la solution donnée par l'auteur:
Cette grille a été conçue par Philippe Laugerat
F142_Grille n°42
La grille a été résolue par Vincent Vermaut et Jean Michel Bernard.
Solution détaillée de l'auteur
Cette grille conçue par Etienne Desclin est fondée sur les nombres de Catalan dont la définition est donnée sur le site de Wikipedia et dont la liste des premiers termes est accessible à l'adresse ...
Philippe Laugerat, Etienne Desclin, Jean Michel Bernard et Vincent Vermaut ont résolu cette grille dont voici la solution:
Commentaires:Diophante a reçu de Philippe Laugerat une grille de nombres croisés sur le thème des puissances n-ièmes de nombres entiers.A son habitude, mal organisé, Diophante a égaré la ...
Comment découper un carré de côté 1 en n = 3 parties d'égale surface avec une longueur de découpe la plus courte possible? Mêmes questions pour n = 4 et n = 5
...
On considère n >3 points du plan tels que trois d'entre eux ne sont jamais sur une même droite et quatre d'entre eux ne sont jamais sur un même cercle. Pour chaque valeur de n variant de 4 à 8, ...
Trouver la dimension entière d'un carré à l'intérieur duquel quatre cercles C1,C2,C3 et C4 calés aux quatre coins, sont tangents à un cinquième cercle C5. Les quatre premiers cercles ...
Problème proposé par Michel Lafond qui précise avec humour qu'il ne s'agit pas de résoudre la quadrature du cercle. Recouvrir le carré unité par n disques (de tailles quelconques, pas nécessairement ...
Ce problème est proposé par Jean Moreau de Saint Martin.
Une collection de boules d'apparence identique comprend des boules
normales et des boules intruses, qui peuvent être ...
Il est bien connu que 8 reines peuvent être placées sur un échiquier sans que l'une quelconque d'entre elles soit attaquée par une autre. De la même manière 8 tours ou 14 fous ou 32 cavaliers ou 16 ...
Zéphyrin le lièvre est perdu dans un immense champ de serpolet qui a la forme d'une bande de 100 mètres de large et de longueur supposée infinie située entre un immense champ de carottes au nord ...
Ce pays du Lointain Ponant projette de construire en plein désert 6 villes nouvelles A,B,C,D,E et F disposées aux sommets de deux carrés juxtaposés de côté 8 kms :
Des ingénieurs des télécommunications ...
Diophante essaie d'attraper un fantôme qui s'est logé dans l'un des couloirs OA,OB,OC du donjon d'une très vieille forteresse. Les couloirs ont chacun 21 mètres de long et sont disposés comme dans ...
Diophante se baigne en plein milieu d'un étang circulaire de rayon 100 mètres quand il voit apparaître un mauvais génie, vampire de surcroît, qui tourne autour de l'étang (sans pouvoir mettre un doigt ...
Diophante est au bord d'un fossé d'une largeur de 12 mètres qui borde un château selon le schéma ci-après. Il souhaite franchir le fossé pour accéder au château mais en l'absence de pont-levis, il ...
Vous êtes perdu dans une immense forêt et vous avez pour seule indication qu'il y a un chemin forestier rectiligne qui se trouve à 5 kilomètres de l'endroit où vous vous trouvez. Mais vous ignorez ...
Diophante veut offrir à Hippatie deux colliers de perles qui contiennent respectivement p et q perles numérotées de 1 à p et de 1 à q. L'agencement des perles est pour le moins original : avec ...
Dans cette tour, l'architecte pour le moins original a fait installer un ascenseur qui est en mesure de servir tous les étages mais aussi bien dans la cabine que sur les paliers il n'y a que deux boutons ...
Je dispose de deux magnifiques collections de soldats de plomb de 2008 figurines chacune. Dans chaque collection, les figurines sont numérotées de 1 à 2008.
L'artisan qui les a fabriquées est féru ...
Trouver le plus petit entier k tel que tout sous-ensemble de
k termes choisis parmi les entiers naturels de 1 à 50 contienne deux nombres
distincts a et ...
On s'intéresse aux suites de n entiers positifs tous différents entre eux a1,a2,a3,...ai,....,an tels que la somme des fractions· S = a1/a2 + a2 /a3 + a3/a4 + ...+ai/ai+1 + ...+an/a1 est égale à ...
Ce
problème est proposé par Jean Moreau de Saint Martin
Hippolyte
dit à Diophante, un beau matin : ``J'ai réussi à démontrer la conjecture ...
Il est bien connu que les carrés des nombres entiers
naturels se terminent par les seuls chiffres 0, 1, 4, 5, 6 et 9. A l'inverse le
pénultième chiffre d'un ...
Les suites an et bn sont
définies par a1 et b1 entiers positifs tels que b1 > a1
et an+1 = an + (an + 1 )/ bn , bn+1 = bn + (bn + 1)/an.
Démontrer ...
Cet entier N à 2009 chiffres comporte 200 fois au moins
chacun des dix chiffres de 0 à 9. Démontrer que N a un multiple inférieur à sa
puissance ...
Au Paradis, Diophante et Saint Pierre ont le dialogue suivant:
- ...
Déterminer successivement tous les couples de nombres premiers (p,q) tels que leur produit pq divise :
1) 2p + 2q
2) 5p + 5q
3)(5p - 2p).(5q - 2q)
sources: olympiades bulgares de mathématiques ...
Pour chacune des valeurs 2,3 et 5 du nombre premier p, trouver un nombre premier q tel que pour tout entier naturel n, q n’est pas un diviseur du nombre np - p. Généralisation : Soit p un nombre ...
Parmi cent pièces, quatre sont fausses. Ces dernières ont toutes le même poids et sont plus légères que les bonnes pièces, elles mêmes de poids identiques. Comment identifier au moins douze bonnes pièces ...
E333-Une journée bien remplie-énoncé Rodolfo Niborski,Pierre Henri Palmade,Patrick Gordon,Philippe Laugerat,Wanda Driesen*,Louis Rogliano(solution,programme)et Jean Moreau de Saint Martin ...
On donne dans le plan 2008 points qui pris 3 à 3 ne sont jamais
colinéaires. Est-il possible que parmi tous les triangles formés avec
ces points, un milliard d'entre eux soient acutangles, c'est ...
1-J’affecte la valeur 1 aux cinq sommets A,B,C,D et E d’un hexagone régulier. La valeur de F est donnée par la relation F*A = B*E + D*C qui est illustrée par le zigzag bicolore de la figure ci-dessous ...
n troupes de théâtre prennent part au festival off
d'Avignon. Quotidiennement, certaines d'entre elles donnent chacune ...
Problème proposé par Michel
Lafond
21 personnes dont Zig et Puce
sont autour d'une table.
Au départ, l'une des personnes a
20 euros et les autres n'ont rien.
Une opération ...
Dix-huit enfants qui ont tous des prénoms différents, participent collectivement à un jeu de piste. Chacun de leurs prénoms a été écrit sur un morceau de papier et les dix-huit papiers ont été placés ...
Soit un entier naturel n. On dit que S(n,k), suite de k nombres entiers naturels (avec k > n), est universelle d’ordre n si on peut obtenir n’importe quelle des n ! permutations des entiers en supprimant ...
Problème proposé par André Cecchini.
Partant d'un entier n, on dénombre les triangles rectangles
à côtés entiers ayant un de leurs côtés égal à n. Si ...
Dans un polygone P convexe de n côtés, on colorie en bleu n-
3 de ses
diagonales et en rouge n - 3 autres diagonales de telle sorte qu'aucune
paire ...
1) Je dispose d'un jeu de 52 cartes numérotées de 1 à 52. Pour toute valeur de n plus grande que 2, je place les cartes numérotées de ...
Compte ...
Mon vieux PC est équipé de quatre puces mises en série qui
sont toutes hors d'usage. Je dispose
d'un lot de seize puces de rechange dont huit sont défectueuses mais j'ignore
lesquelles. L'ordinateur ...
Problème proposé par Thierry Machicoane
Soit l'alphabet A = .
De tous les mots de 123456 lettres sur A, calculer combien
ont, au ...
Si le comptage des moutons ne vous permet pas de trouver le sommeil, voici un somnifère beaucoup plus efficace : vous choisissez un chiffre k dans l’ensemble puis vous énumérez tous les entiers ...
En vue de détecter au plus tôt les débuts d'incendie, on installe des miradors à l'intérieur d'une forêt délimitée par un carré d'une surface de 100 km2. On admet que chaque mirador a la même capacité ...
Le résultat k (1,2,3,4,5 ou 6) du lancer d'un dé supposé
parfait est écrit au tableau. Zig et Puce chacun à son tour écrivent sur une
même ligne un nombre choisi ...
Au jeu de dames, la dame a une grande marge de manœuvre : - Elle prend tout pion situé sur sa diagonale et s'arrête sur la case libre de son choix située après la pièce. Cette opération ...
