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Plus de 3000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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D4903. Rangements compacts Imprimer Envoyer
D4. Pavage du plan et de l'espace - Dissection

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Problème proposé par Michel Lafond

Un entier naturel n étant donné, il s’agit de placer tous les carrés de côtés 1, 2, 3, …, n sans empiètement dans un rectangle.
Pour un placement donné on note p(n) le pourcentage d’aire utilisé par les carrés et M(n) la valeur maximale de p(n) pour tous les rectangles possibles.
Ainsi avec n = 3, on a M(3) = (12 + 22 + 32)/(3.5) = 14/15 ≈ 0,93

d4903








Q1. Trouver M(n) [ou à défaut de bons minorants] pour n≤ 20
Q2. Montrer queM(100) > 0,99


Solution


pdfJean Nicot,pdfDaniel Collignon,pdfMarie-Christine Piquet et pdfMichel Lafond ont traité le problème et obtenu des résultats intéressants notamment pour Q1.
Daniel Collignon a donné les deux liens fort utiles de l'encyclopédie en ligne des nombres entiers (O.E.I.S) http://oeis.org/A038666 et http://oeis.org/A081287 qui donnent les aires minimales des rectangles à l'intérieur desquels des carrés de dimensions 1,2,3,....n = 32 peuvent être placés.
 
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