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Plus de 2000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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A445. Les quatre familles Imprimer Envoyer
A4. Equations diophantiennes
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Problème proposé par Jean Drabbe

Quatre familles composées chacune de quatre personnes constatent qu'elles ont toutes la même somme des âges de leurs membres (âges exprimés en nombres entiers), la même somme des carrés de leurs âges et la même

somme des cubes des âges. De plus, les seize personnes concernées ont toutes des âges distincts entre eux. Quels sont les âges dans chacune des familles ?

Une des nombreuses solutions est : 0 23 24 47 - 2 14 33 45 - 3 12 35 44 - 5 9 38 42

Dans cette solution, pour chacune des familles, la somme des âges minimum et maximum est égale à la somme des âges intermédiaires (0 + 47 = 23 +24 ,2 + 45 = 14 + 33 , 3 + 44 = 12 + 35 , 5 + 42 = 9 + 38).

Nous dirons que cette solution est symétrique.

Une solution est dite primitive si et seulement si 0 y apparaît et le PGCD des seize âges est 1.

1) Existe-t-il une infinité de solutions primitives (on n'impose aucune borne supérieure aux âges) ?

2) Existe-t-il une solution non symétrique ?



Jean Drabbe et Philippe Laugerat ont résolu la première partie. S'agissant de la seconde partie qui est sans solution, Jean Drabbe fait remarquer qu'un résultat sur le nombre de représentations en somme de quatre cubes aurait pu être utile mais la question "Tout naturel est-il somme de quatre cubes" est encore un problème ouvert.
 
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