Small Fonts Default Fonts Large Fonts

Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Avertissement

Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :

Très facile

Facile

Moyen

Difficile

Très difficile

Variable

 

D'autre part, les problèmes se traitent généralement à la main et sont alors repérés par l'icône

 

Pour faciliter leur résolution, l'ordinateur peut être utile. Dans ce cas, vous verrez apparaître aussi cette icône

 

Quand l'ordinateur est indispensable, l'icône figure seule.

 

Pour avoir accès aux solutions de chaque problème, cliquez sur solution.

 

Les figures et les graphes ont été réalisés grâce au logiciel Declic.

Avertissement
Open/Close
E114. Les tournées polygonales Imprimer Envoyer
E1. Suites logiques
calculator_edit.png  

1-J’affecte la valeur 1 aux cinq sommets A,B,C,D et E d’un hexagone régulier. La valeur de F est donnée par la relation F*A = B*E + D*C qui est  illustrée par le zigzag bicolore de la figure ci-dessous : segment FA en bleu  (F*A), segment AB ( = ), segment BE en rouge (B*E), segment ED (+), segment DC en rouge (D*C). On en déduit F = 2.
E114a













Je poursuis la tournée afin de donner une deuxième valeur au point A à partir des valeurs de B,C,D,E et F .En partant du sommet A adjacent à F dans le sens des aiguilles d’une montre, je réalise le même zigzag qui donne la relation A*B = C*F + E*D. D’où A = 3. Je continue le processus afin de donner une 2ème , puis une 3ème …puis une kième  valeur à chacune des lettres à partir des dernières valeurs connues pour les cinq autres.  J’observe que les deux premières valeurs affectées à A,B,C,D,E,F  sont respectivement (1,3), (1,5), (1,11), (1,37), (1,83), (2,274).
Démontrer que quel que soit k, les k valeurs affectées à chaque sommet de l’hexagone sont toutes entières.

2-Je réalise la même tournée avec les sommets d’un heptagone régulier ABCDEFG. La valeur 1 est affectée à chacun des sommets A,B,C,D,E et F. Je calcule G à partir de la relation G*A = B*F + C*E +   qui est illustrée par le zigzag de la figure ci-dessous. Je continue les tournées en prenant comme point de départ de chacune d’elles le sommet adjacent au précédent dans le sens des aiguilles d’une montre.
Démontrer que les  valeurs affectées à chaque sommet de l’heptagone restent toujours entières.
E114b
















3-Pour quels polygones à 2n et 2n+1 sommets dont 2n-1 et 2n d’entre eux ont la valeur initiale 1, a-t-on des séquences composées exclusivement d’entiers affectés à chacun des sommets ?


 
RSS 2.0 Our site is valid CSS Our site is valid XHTML 1.0 Transitional