Jean Moreau de Saint Martin  et Fabien Gigante ont résolu les deux questions du casse-tête.

Dans sa solution à la première question, Jean Moreau de Saint Martin donne une équation générale des cercles passant par 2k+1 points de coordonnés entières : 5x² + 5 y² - 2p^kx = 0 avec p nombre premier congru à 1 ou 9 modulo 20. Ces cercles sont de même nature que les cercles de Schinzel que Daniel Collignon a identifiés à deux adresses du site de WolframMathWorld:
http://mathworld.wolfram.com/SchinzelCircle.html
http://mathworld.wolfram.com/CircleLatticePoints.html
De son côté Patrick Combet a écrit un programme informatique qui permet de déterminer le rayon minimum de tous les cercles passant par des points de coordonnées entières. Ce rayon est égal à 25*racine(442) /22.

Claudio Baiocchi confirme, comme nous l'avions indiqué, que cette première question a fait l'objet d'une rubrique sur le site IBM Ponder this en mai 2002:http://domino.research.ibm.com/Comm/wwwr_ponder.nsf/Challenges/May2002.html

 

S'agissant de la deuxième question, félicitations à Fabien Gigante qui  a trouvé la configuration de 8 cercles suivante:

 

Il semble que cette configuration soit vraiment optimale.
Les amateurs qui s'intéressent à des configurations de cercles passant par tous les points d'un treillis de n x n points, peuvent consulter le site Mathpuzzle.com d'Ed Pegg Jr: http://www.mathpuzzle.com/dots.html