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Plus de 2000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :

Très facile

Facile

Moyen

Difficile

Très difficile

Variable

 

D'autre part, les problèmes se traitent généralement à la main et sont alors repérés par l'icône

 

Pour faciliter leur résolution, l'ordinateur peut être utile. Dans ce cas, vous verrez apparaître aussi cette icône

 

Quand l'ordinateur est indispensable, l'icône figure seule.

 

Pour avoir accès aux solutions de chaque problème, cliquez sur solution.

 

Les figures et les graphes ont été réalisés grâce au logiciel Declic.

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E646. Cercles et coordonnées entières Imprimer Envoyer
E6. Autres casse-tête
calculator_edit.png computer.png   

 

Q1 - Décrire un cercle dans le plan qui passe exactement par 7 points de coordonnées entières. Trouver un tel cercle de rayon minimum.

Q2 - Tracer le minimum de cercles qui passent par les 49 points de coordonnées entières contenus dans un carré de dimension 6 dont les côtés sont parallèles aux axes Ox et Oy.

 


 

Jean Moreau de Saint Martin  et Fabien Gigante ont résolu les deux questions du casse-tête.

Dans sa solution à la première question, Jean Moreau de Saint Martin donne une équation générale des cercles passant par 2k+1 points de coordonnés entières : 5x2 + 5 y2 - 2pkx = 0 avec p nombre premier congru à 1 ou 9 modulo 20. Ces cercles sont de même nature que les cercles de Schinzel que Daniel Collignon a identifiés à deux adresses du site de WolframMathWorld:
http://mathworld.wolfram.com/SchinzelCircle.html
http://mathworld.wolfram.com/CircleLatticePoints.html
De son côté Patrick Combet a écrit un programme informatique qui permet de déterminer le rayon minimum de tous les cercles passant par des points de coordonnées entières. Ce rayon est égal à 25*racine(442) /22.

Claudio Baiocchi confirme, comme nous l'avions indiqué, que cette première question a fait l'objet d'une rubrique sur le site IBM Ponder this en mai 2002:http://domino.research.ibm.com/Comm/wwwr_ponder.nsf/Challenges/May2002.html

 

S'agissant de la deuxième question, félicitations à Fabien Gigante qui  a trouvé la configuration de 8 cercles suivante:

e646.jpg

 


Il semble que cette configuration soit vraiment optimale.
Les amateurs qui s'intéressent à des configurations de cercles passant par tous les points d'un treillis de n x n points, peuvent consulter le site Mathpuzzle.com d'Ed Pegg Jr: http://www.mathpuzzle.com/dots.html


 
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