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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :

Très facile

Facile

Moyen

Difficile

Très difficile

Variable

 

D'autre part, les problèmes se traitent généralement à la main et sont alors repérés par l'icône

 

Pour faciliter leur résolution, l'ordinateur peut être utile. Dans ce cas, vous verrez apparaître aussi cette icône

 

Quand l'ordinateur est indispensable, l'icône figure seule.

 

Pour avoir accès aux solutions de chaque problème, cliquez sur solution.

 

Les figures et les graphes ont été réalisés grâce au logiciel Declic.

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G253. Pour trouver le sommeil Imprimer Envoyer
G2. Combinatoire - Dénombrements
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Si le comptage des moutons ne vous permet pas de trouver le sommeil, voici un somnifère beaucoup plus efficace : vous choisissez un chiffre k dans l’ensemble {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} puis vous énumérez tous les entiers naturels consécutifs dans l’ordre croissant 1,2,3,...n et pour tout n vous calculez le nombre cumulé A(k,n) des apparitions du chiffre k dans la suite des entiers de 1 à n. C’est ainsi que A(1,1) = 1, A(1,10) = 2, A(1,20) = 12,.... A(2,1) = 0, A(2,10) = 1, A(2,20) = 3 etc... . Pour quelle(s) valeurs de k, existe-t-il au moins un entier n tel que le nombre cumulé d’apparitions du chiffre k dans le suite des entiers de 1 à n est égal à n, soit (An,k) = n ? Pour ces valeurs de k, trouver le plus petit n > 1 et le plus grand n satisfaisant l’équation A(n,k) = n.


Julien de Prabère a résolu le problème et trouvé toutes les valeurs possibles de n (soit au total 651 solutions possibles hormis la solution 1 chiffre 1 pour n = 1) en fonction des différentes valeurs de k grâce à un programme g253 qu'il a écrit en langage C et qui peut être téléchargé puis exécuté. On note qu'il y a toujours au moins une solution en n sauf pour k = 0.

 

 

 
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