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Plus de 2000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Accueil Problèmes par thèmes A. Arithmétique et algèbre A4. Equations diophantiennes A472. Sur les traces de Diophante, Fermat, Euler...

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A472. Sur les traces de Diophante, Fermat, Euler... Imprimer Envoyer
A4. Equations diophantiennes
calculator_edit.png computer.png   

Un ensemble E de k entiers positifs distincts entre eux est appelé k-uple diophantien (kD) avec la propriété D(n),[n entier relatif], si quels que soient p et q de E, pq + n est un carré parfait. Exemple E :{1,3,8} est un 3D avec la propriété D(1) car 1*3 + 1 = 4, 1*8 + 1 = 9 et 3*8 + 1 = 25.

Q1 Trouver au moins deux 4D qui ont la propriété D(1) et contiennent l'entier 2009.

Q2 Trouver au moins un 4D dont le premier terme est un carré parfait, qui a la propriété D(1) et contient exclusivement des nombres qui s'expriment à l'aide de nombres de la suite de Fibonacci.

Q3 Trouver un 4D qui a la propriété D(2009) et dont le plus grand terme est le plus petit possible.

Q4 Trouver les 4D dont le plus grand terme est inférieur à 2009 et qui ont la propriété D(256). En déduire au moins deux 5D avec la propriété D(256).

Q5 Trouver un 4D qui a la propriété D(n) pour un entier n négatif le plus proche de 0 possible ?

Nota : ce problème est une variante d'un problème traité il y a fort longtemps par les illustres Diophante, Fermat, Euler,....

 



Philippe Laugerat a résolu le problème.
Nota: ces équations et ces k-uples d'entiers ont fait l'objet d'études approfondies de la part d'Andrej Dujella. Il est conseillé de consulter la page qu'il leur a consacrée.

 
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