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Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Accueil Problèmes par thèmes I. Trajets optimaux I145. Les miradors de la forêt

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I145. Les miradors de la forêt Imprimer Envoyer
I. Trajets optimaux

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En vue de détecter au plus tôt les débuts d'incendie, on installe des miradors à l'intérieur d'une forêt délimitée par un carré d'une surface de 100 km2. On admet que chaque mirador a la même capacité d'intervention et que tous les points de la forêt susceptibles d'être atteints à partir de chaque mirador au bout d'un temps T sont sur la circonférence d'un cercle centré au mirador et dont le rayon est proportionnel à T et est indépendant de la position du mirador dans la forêt. Combien de miradors faut-il installer au minimum et quelle est leur localisation optimale si tout point de la forêt ne doit pas être éloigné de plus de 3 kilomètres du mirador le plus proche ? Mêmes questions si la distance maximale d'éloignement est ramenée à 2,5 kilomètres puis à 2 kilomètres.

 Indications:
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1)
Il est conseillé d'examiner les localisations optimales des miradors quand leur nombre prend successivement les valeurs croissantes n=1,2,3,.... Ainsi avec un seul mirador, la localisation optimale est évidemment le centre du carré de côté 10 km, les points les plus éloignés sont les sommets du carré et la distance R(1) des ces quatre points au mirador est de image86.gifkilomètres.
2) Attention : les localisations qui font apparaître de nombreux axes de symétrie ne donnent pas systématiquement l'optimum...




Pierre Henri Palmade,Fabien Gigante,Jean Moreau de Saint Martin et Antoine Verroken ont répondu au problème et trouvé tout ou partie des installations optimales.
Avec des rayons de couverture respectivement égaux à 3 kms, 2.5 kms et 2 kms, il faut installer 6, 9 et 13 miradors pour couvrir toute la forët. Le cas le plus délicat à traiter est celui du rayon de 3 kms pour lequel 7 miradors semblent nécessaires.
Fabien Gigante a remarqué que ce problème se ramène à la couverture d'un carré par des cercles de même rayon et a mentionné les analyses de J.B.M. Melissen et de P.C. Schuur Coverings of a Square with 6 and 8 equal circles et de J.Numerla et de P.R.J. Ostergard I145-Covering a Square with up to 30 Equal Circles sur ce sujet. Une pdfsolution a été établie sur la base de ces analyses.

 
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