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Plus de 2000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :

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A458. Fractions en ronde fermée Imprimer Envoyer
A4. Equations diophantiennes
calculator_edit.png  

On s'intéresse aux suites de n entiers positifs tous différents entre eux a1,a2,a3,...ai,....,an tels que la somme des fractions· S = a1/a2 + a2 /a3 + a3/a4 + ...+ai/ai+1 + ...+an/a1 est égale à un nombre entier.

1)····· Pour quelles valeurs de n, de telles suites existent-elles·?

2)····· Quelle est la plus petite valeur de n pour laquelle le produit des termes a1*a2*...*an est toujours un cube ?

3)····· Quelle est la plus petite valeur s de S·? Quelles sont les valeurs de n qui permettent d'obtenir s·?

4)····· Trouver une suite (si possible la plus courte) telle que S = 2009.



 


Jean Moreau de Saint Martin, Daniel Collignon et Pierre Henri Palmade ont répondu au problème.

Dans la question n°3, on démontre que s > 3 et on trouve rapidement le triplet (1,2,4) qui donne s = 5 mais on se heurte à un problème beaucoup plus complexe pour démontrer que l'équation a/b + b/c + c/a = 4 n'a pas de solution.

Fabien Gigante nous adresse à ce propos le message suivant:

L'équation a/b+b/c+c/a=n, ou de façon équivalente x3+y3+z3=nxyz a bien été étudiée avant nous...L'inexistence de solutions entières positives pour n = 4 semble bien être aujourd'hui démontrée.On trouve dans l'encyclopédie de Sloane, la séquence des n pour lesquelles l'équation admet des solutions entières positives.http://www.research.att.com/~njas/sequences/A072716
Il est fait mention explicite d'une démonstration de l'inexistence pour le cas n multiple de 4 (donc en particulier n=4 qui nous intéresse ici). L. J. Mordell dans son ouvrage Diophantine Equations procède par factorisation dans N+jN (où j racine cubique complexe de l'unité).Par exemple, il remarque que x3+y3+z3=4xyz <=> (3x+3y+4z)(3xj+3yj²+4z)(3xj²+3yj+4z)=37z3.Sa connaissance de la structure de N+jN lui permet d'aboutir à certaines conclusions.
Un article très complet de  Dave_Rusin nous introduit aux courbes elliptiques qui permettent de répondre à la question
Je  joins également deux autres papiers d'Erik_Dofs  et  de Philippe_Revoy qui ont retenu mon intérêt sur cette question.  


 
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