Jean Moreau de Saint Martin, Daniel Collignon et Pierre Henri Palmade ont répondu au problème.

Dans la question n°3, on démontre que s > 3 et on trouve rapidement le triplet (1,2,4) qui donne s = 5 mais on se heurte à un problème beaucoup plus complexe pour démontrer que l'équation a/b + b/c + c/a = 4 n'a pas de solution.

Fabien Gigante nous adresse à ce propos le message suivant:

L'équation a/b+b/c+c/a=n, ou de façon équivalente x^3+y^3+z^3=nxyz a bien été étudiée avant nous...

L'inexistence de solutions entières positives pour n = 4 semble bien être aujourd'hui démontrée.

On trouve dans l'encyclopédie de Sloane, la séquence des n pour lesquelles l'équation admet des solutions entières positives.

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A072716

Il est mention explicite d'une démonstration de l'inexistence pour le cas n multiple de 4 (donc en particulier n=4 qui nous intéresse ici).

L. J. Mordell dans son ouvrage Diophantine Equations procède par factorisation dans N+jN (où j racine cubique complexe de l'unité).

Par exemple, il remarque que x^3+y^3+z^3=4xyz <=> (3x+3y+4z)(3xj+3yj²+4z)(3xj²+3yj+4z)=37z^3.Sa connaissance de la structure de N+jN lui permet d'aboutir à certaines conclusions.

Un article très complet de  Dave_Rusin nous introduit aux courbes elliptiques qui permettent de répondre à la question

Je  joins également deux autres papiers d'Erik_Dofs  et  de Philippe_Revoy qui ont retenu mon intérêt sur cette question.