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Plus de 3000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :

Très facile

Facile

Moyen

Difficile

Très difficile

Variable

 

D'autre part, les problèmes se traitent généralement à la main et sont alors repérés par l'icône

 

Pour faciliter leur résolution, l'ordinateur peut être utile. Dans ce cas, vous verrez apparaître aussi cette icône

 

Quand l'ordinateur est indispensable, l'icône figure seule.

 

Pour avoir accès aux solutions de chaque problème, cliquez sur solution.

 

Les figures et les graphes ont été réalisés grâce au logiciel Declic.

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G244. Les puces de mon vieux PC Imprimer Envoyer
G2. Combinatoire - Dénombrements
calculator_edit.png  

Mon vieux PC est équipé de quatre puces mises en série qui sont toutes  hors d'usage. Je dispose d'un lot de seize puces de rechange dont huit sont défectueuses mais j'ignore lesquelles. L'ordinateur fonctionne seulement quand les quatre puces sont en bon état.Pour installer une ou plusieurs puces ou les retirer, je prends toujours la précaution d'éteindre l'ordinateur et chaque essai entre deux allumages dure deux minutes. Avec mes réminiscences d'analyse combinatoire, je sais qu'il y a C(16,4) = 1820 façons de choisir quatre puces dans un lot de seize puces parmi lesquelles il y a seulement C(8,4) = 70 façons d'en prendre quatre qui sont en bon état.Dans le cas le plus défavorable ma réparation peut donc durer fort longtemps.Je vous demande de m'aider à réduire la durée maximale D de la réparation. Déterminer la plus petite valeur possible de D.

Solution


Il est facile de voir qu'après le partage des 16 puces en deux lots de 8 puces chacune, le principe des tiroirs garantit au moins 4 bonnes puces dans l'un des 2 lots. Dans le pire des cas, en testant les puces de ce deux lots prises 4 par 4, il y a donc 2*C(8,4) = 2*70 = 140 essais qui demandent 280 mn soit 4h 40 mn.
Tous les lecteurs qui ont traité ce problème ont amélioré sensiblement ce score en opérant une partition des 16 puces en sous-lots de a,b,c,... puces. Les réponses font apparaître un large éventail avec des sous-lots de même taille (par exemple : 4,4,4,4) ou distincts (par exemple 9,7 ou 7,7,2). Michel Lafond a réalisé le meilleur temps D avec 60 essais, suivi par Claudio Baioochi avec 71 essais. Peut-on faire mieux?
Voir les solutions de:
Michel Lafond,Claudio Baiocchi,Jérôme Pierard,Yves Etievant,Jean Moreau de Saint Martin,Pierre Henri Palmade,Claude Morin.


Julien de Prabère nous a adressé un script très intéressant dans lequel à partir de la méthode de Michel Lafond, il traite la question de la réduction statistique du nombre des essais.

 

 
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