Ce problème est proposé par Jean Moreau de Saint Martin

Hippolyte dit à Diophante, un beau matin : ``J'ai réussi à démontrer la conjecture de Legendre !''

Cette conjecture énonce qu'entre deux carrés parfaits consécutifs, on trouve toujours au moins un nombre premier.``Très bien,'' répond Diophante, ``je vais pouvoir laisser mon nom à un nombre remarquable : le nombre de Diophante D,  nombre réel tel que, en l'élevant n fois au carré, la partie entière de D^(2^n) est toujours un nombre premier.''

1) Que pensez-vous de cette prétention ? Comment Diophante peut-il s'y prendre pour fabriquer un nombre D (ou même plusieurs) ?

2) En réalité, la conjecture de Legendre n'est toujours pas prouvée. Mais les progrès faits dans la connaissance de la répartition des nombres premiers ont montré (théorème d'Ingham, 1932) qu'entre deux cubes parfaits consécutifs assez grands * on trouve toujours au moins un nombre premier. Montrez qu'il existe un nombre M appelé nombre de Mills tel que, en l'élevant n fois au cube, la partie entière de M^(3^n) est toujours un nombre premier.

 

* Ce qui veut dire plus grands qu'une certaine limite, dont on peut seulement dire qu'elle est finie.