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Plus de 3000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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G20374. Sextet d'X-ettes Imprimer Envoyer
G2. Combinatoire - Dénombrements
calculator_edit.png  
 

1) Le mot SEXTET est l'un de ceux que l'on peut former en permutant les lettres de XETTES.
a) Combien de ``mots'' distincts (ou codes de six lettres, sans exiger qu'ils soient prononçables ou aient une signification)  peut-on former ainsi ?
b) Parmi ces mots, on élimine ceux qui, écrits en regard de XETTES, montrent des lettres identiques à la même place (ainsi SEXTET  sera éliminé par ses 2e, 4e et 5e lettres). Combien en reste-t-il ?

2) On permute maintenant les 17 lettres de POLYTECHNICIENNES ; combien de mots distincts obtient-on ? et combien, écrits en regard de POLYTECHNICIENNES, ne montrent aucune coïncidence de lettres identiques à la même place ?

N.B. Il est intéressant de faire le rapprochement avec  le classique ``problème des rencontres''  : ``Montrant successivement les 52 cartes d'un jeu, et annonçant avant de les regarder : As, Roi, Dame, \ldots, deux, As, Roi, \ldots, etc., quelle est la probabilité que toutes ces annonces soient fausses ?''

Problème proposé dans La Jaune et la Rouge de juin-juillet et d'août-septembre 2011



Solution


Partant des permutations de XETTES, l'extension à POLYTECHNICIENNES signalait l'intérêt de généraliser le problème pour aboutir à une solution plus maniable que l'énumération directe. Michel Dorrer a néanmoins bâti avec succès une méthode d'énumération ``sur mesure'' pour ce cas particulier. 
 
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