La Poste de Diophantie vient de lancer 8 collections de timbres sur différents thèmes : art, animaux, littérature, mathématiques,etc... Dans la collection n° i il y a deux timbres de valeurs ...
Problème proposé par Patrick Gordon
Zig s'est acheté un réveil digital, qu'il pose à plat, affichage vers le plafond, sur le plancher de sa chambre. Il le place tantôt face à son lit, pour bien ...
Des segments ont été délimités par 4026 marques blanches le long du BP (boulevard périphérique) nouvellement transformé en aire de stationnement. Sachant que pour se garer toute voiture occupe deux ...
Problème proposé par Michel Lafond L’ensemble contient exactement 2 multiples de 2, 3 multiples de 3 et 5 multiples de 5. Trouvez des ensembles d’entiers naturels strictement positifs, dont la somme ...
Neuf villages organisent un tournoi de parties de bras de fer. Chaque village ( i = 1,2,...,9) a une équipe de neuf lutteurs et rencontre les huit autres villages. Lors d’une rencontre entre ...
Zig constate que son ordinateur n’affiche plus le nombre π mais par bonheur la fonction ALEA() qui génère aléatoirement un nombre réel compris entre 0 et 1 marche encore.Il écrit alors un programme ...
Sur chacun des trois segments A1B1,A2B2 et A3B3 de longueurs A1B1 = 72 mm, A2B2 = 144 mm, A3B3 > A2B2, on choisit respectivement trois points P1,P2 et P3 au hasard selon des lois de distribution ...
Zig écrit la même séquence S de 40 chiffres distincts de 0 sur sept bandes de papier.Par exemple, il écrit sept fois de suite : 7988244896615564512982865732247823473313. ll demande à Puce de découper ...
Pour tracer les figures qui illustrent les problèmes de géométrie de diophante.fr, je dispose d’une collection de crayons de neuf couleurs différentes (c1 à c9) que je répartis en quantités égales ...
On écrit sur 120 cartes les fractions de la forme k/(k+1) pour k variant de 1 à 120 : 1/2, 2/3, 3/4, 4/5,....,119/120, 120/121. On partage le paquet P de 120 cartes en deux paquets de a cartes ...
Le craps est un jeu d'argent, en vogue aux États-Unis et au Canada, plus rarement dans les casinos européens, qui se joue avec deux dés à six faces selon les règles suivantes : 1) ...
Il y a sur la table n boites identiques. Certaines d’entre elles contiennent chacune n boites identiques de plus petite taille. Certaines de ces dernières contiennent chacune n boites identiques de ...
Soit un entier n pair. On détermine le plus grand nombre possible N de paires disjointes deux à deux d’entiers choisis dans l’ensemble telles que les sommes de leurs termes sont toutes distinctes ...
Combien faut-il de dés à 6 faces pour obtenir dans un seul lancer au moins une fois chacune des trois faces numérotées de 1,2 et 3 avec 95 chances sur 100 ? Combien faut-il ajouter de dés pour obtenir ...
Dans ce pays de cocagne où le plafond des réglements en espèces est fixé à 10000 Ecus, ce sont les mathématiciens qui battent monnaie. Ils viennent d’émettre des pièces de valeur de 1, x, x2, ...
Zig trace k polygones convexes disjoints entre eux qui ont des nombres différents de sommets puis il trace leurs diagonales en constatant que trois quelconques d’entre elles ne sont jamais concourantes. ...
Un ensemble de n entiers naturels positifs est dit par convention « médiophile » si pour tout entier k = 1,2,...,n, la moyenne arithmétique de n’importe quel sous-ensemble de k termes est ...
Problème proposé par Patrick Gordon
Zig rencontre Puce accompagné de deux filles.On considère les deux variantes suivantes: V1 Puce dit à Zig : ce sont mes filles ; je promène mes enfants deux par ...
Zig dispose de 20 € en euros et joue à la roulette.Celle-ci dispose de cases numérotées de 0 à 36 alternativement rouges et noires, à l'exception du zéro qui est vert. Zig a deux options : 1) il joue ...
Problème proposé par Michel Lafond Combien faut-il en moyenne de tirages consécutifs au loto (6 numéros tirés sans remise parmi 49) pour voir sortir au moins une fois tous les numéros ?
Paul Voyer,Jean ...
La reine Formica amène avec elle une colonie de fourmis sur un câble électrique AB de 10 mètres de long. A l’instant t = 0, toutes les fourmis se placent de manière aléatoire sur le câble à l’exception ...
Les organisateurs de matches de basket-ball sont très friands de statistiques sur les performances des joueurs et recensent au cours de chaque partie aussi bien les tirs réussis et les tirs tentés que ...
Zig trace m > 2 points P1,P2,...Pm sur la circonférence d’un cercle et les colorie avec p ≥ 2 couleurs distinctes de sorte que deux points voisins sont de couleurs différentes.De son côté, ...
Trois points A,B,C sont choisis au hasard indépendamment les uns des autres selon une loi de distribution uniforme le long du périmètre d'un carré PQRS. Calculer la probabilité pour que le triangle ...
Quel est le plus grand des deux termes: - le nombre de chiffres de la suite d'entiers consécutifs 1,2,3,...,102015? ou bien - le nombre de zéros de la suite d'entiers consécutifs 1,2,3,..., 102016? ...
Problème proposé par Patrick Gordon (comme suite au problème G185) Trois points A, B, C sont choisis au hasard indépendamment les uns des autres selon une loi de distribution uniforme respectivement ...
De 1 centime à 2 euros, la monnaie commune comporte 8 pièces dont un côté est le même pour les 19 pays de l'Eurozone, alors que l'autre côté est une face nationale.
Je forme une collection avec une ...
On range les entiers de 1 à n en séquence, avec les règles suivantes :
-- la séquence commence par 1,
-- aucun des entiers n'est immédiatement suivi dans la séquence par l'entier immédiatement supérieur. ...
On tire au hasard selon des tirages exhaustifs six nombres dans l'ensemble des entiers de 1 à 2016. Les trois premiers de ces nombres sont les dimensions (en mm) d'une boite en carton parallélépipèdique.Avec ...
On désigne par f(n) le nombre d'entiers positifs inférieurs à n qui divisent n2 sans être des diviseurs de n Q1 Calculer f(2016) Q2 Déterminer la valeur maximale de f(n) pour n compris entre 1 et 2016 ...
Problème proposé par Pierre Jullien J'ai fabriqué avec une imprimante 3D un arbre quaternaire sur quatre étages (voir les deux images ci-contre). A l'aide d'un alphabet (α,β,γ,δ), j'attribue ...
Cette abeille ouvrière placée à l'origine O décide de butiner de le long de l'axe x'Ox. Elle effectue des déplacements successifs de longueurs égales à 3 centimètres,5 centimètres,9 centimètres,17 centimètres,... ...
Puce trace dans le plan huit lignes droites telles que deux quelconques d'entre elles ne sont jamais parallèles. Il gagne trois jetons quand trois droites forment un triangle équilatéral et un jeton ...
Problème proposé par Patrick Gordon Pierre adore les mirabelles mais il n'aime que les mirabelles de Lorraine et les choisit d'une curieuse façon. Dans un sac en papier opaque, il sait qu'il y a N ...
Problème proposé par Augustin Genoud Un concours contient un certain nombre de questions dont les réponses correctes valent chacune 1 point. Des coefficients sont attribués à toutes les réponses correctes. ...
Un entier M est appelé mozartien1 si chacun des chiffres de 0 à 9 est en nombre pair sur l'ensemble des entiers de 1 à M. Q1 Démontrer qu'un entier mozartien est toujours pair. Q2 Déterminer le plus ...
Dans l'ensemble E des n premiers entiers 1,2,...,n on considère les sous-ensembles des entiers qui pris deux à deux ne sont jamais dans le rapport de 1 à 3. On retient le sous-ensemble F de cardinalité ...
On choisit au hasard¹ trois sommets d'un polygone régulier de n côtés. Pour quelles valeurs de n, a-t-on exactement une chance sur deux d'obtenir les sommets d'un triangle obtus? ¹Nota: par exemple ...
Q1 On donne un segment fixe AB de longueur d dans le plan Oxy et on considère la portion (P1) du plan qui contient tous les points C tels que le triangle ABC admet AB comme plus grand côté. On ...
Ce jeu se joue avec n familles de 2 cartes, à q joueurs. Si l'on distribue m cartes à un joueur, quelle est la probabilité qu'il ait déjà une ou plusieurs familles ? Quelle est l'espérance du nombre ...
La puce vient de l'extérieur et saute, de façon équiprobable, l'un des 5 segments qui bordent la face où elle se trouve. Combien de sauts, en moyenne, la ramèneront à l'extérieur ?
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Problème proposé par Raymond Bloch Cette bourgade a un nombre pair 2n de rues rectilignes,chacune équipée respectivement de 1,2,3,...,2n feux tricolores de sorte que le nombre total de feux installés ...
Dans un monastère tibétain, 36 moines portent des étoles de quatre couleurs: rouge, blanc, bleu et jaune. Chacun de ces moines relève de l'un des six ordres qui vivent dans ce monastère et ...
On recense 2017 paires d'entiers strictement positifs (m,n), l'un et l'autre inférieurs ou égaux à un certain entier k tels que: n / (m + 1) < √2 < (n + 1) / m Q1 Déterminer k Q2 ...
Quelle est la probabilité qu'une corde d'un cercle prise au hasard soit plus longue que le côté du triangle équilatéral inscrit ? Il n'y a pas qu'une réponse à cette question posée par Joseph ...
Cinq candidats passent un examen avec des probabilités de réussite distinctes. On appelle "heureux" tout candidat qui réussit l'examen. On a les relations suivantes: 1) On a une chance sur trois d'avoir ...
Q1 - Déterminer le nombre d’entiers strictement positifs x qui satisfont la relation [x/2017]= [x/2019] dans laquelle [X] désigne la partie entière par défaut de X. Q2 - Trouver deux entiers positifs ...
Problème proposé par Michel Lafond. Un triangle pascalien d’ordre k ≥ 2 est constitué de k lignes contenant respectivement k, k – 1, k – 2, …, 3, 2, 1 entiers, disposées en triangle les unes sous ...
Le signe "/" désignant la division,on considère l'expression E = p1 / p2 / p3 /..../ pn qui contient n nombres premiers distincts p1, p2, p3,...., pn dans un ordre fixé . On place dans E des parenthèses ...
Problème proposé par Christian Romon Pour n = 1,2,3,....on considère la suite des entiers égaux au produit de 7 entiers consécutifs commençant par n. Ainsi u1 = 1.2.3.4.5.6.7 = 7! = 5040, u2 = 2.3.4.5.6.7.8 ...
Une première compétition permet de classer les n participants ; un nouveau classement des mêmes participants est établi après une seconde compétition. Admettant que les résultats des deux compétitions ...
Zig a sur une étagère de sa bibliothèque une collection de n ouvrages mathématiques qu'il a étiquettés et rangés de 1 à n. En son absence, Puce mélange l'ordre des ouvrages. A son retour Zig demande ...
Problème proposé par David Draï On dispose d'une collection de n segments de longueurs 1,2,3,.....n avec n ≥ 3. Si on en prend trois au hasard, on note P(n) la probabilité que l’on puisse former un ...
Problème proposé par David Draï
Je trace deux triangles équilatéraux, le premier de côté 3 centimètres et le second de côté 5 centimètres. Dans le premier triangle je choisis au hasard un premier ...
Problème proposé par Pierre Renfer Q1 Soit n un entier strictement positif fixé. Soit En l’ensemble des n+1 rationnels k/n , avec 0 ≤ k ≤ n . On choisit au hasard deux éléments ...
Problème proposé par Pierre Renfer Soit ABC un triangle isocèle de sommet A, avec AB = AC = 1 et pour angle α en A. On choisit au hasard un point P sur le côté [AB] et un point Q sur le côté [AC]. ...
Jules et Romain jettent chacun une paire de dés (cubiques), ce qui donne à chacun un résultat allant de 2 à 12 points. Quel est la probabilité que leurs deux lancers donnent des résultats égaux ?
Qu'en ...
Puce teste sur son vieux PC la fonction Alea() qui permet de générer des nombres aléatoires sur un intervalle donné. Ayant choisi deux entiers a et b avec a multiple de b (a = kb, k > 1), ,il souhaite ...
Dans une tour de N niveaux, il y a sept ascenseurs qui s’arrêtent chacun à six niveaux seulement. Cependant, pour deux niveaux distincts il est toujours possible de les relier à l’aide d’un seul ascenseur. ...
Puce a reçu une belle collection de n billes (n < 50) dont k d’entre elles toutes de même couleur uniforme sont indiscernables et les autres en plus grand nombre sont des agates à filaments multicolores ...
On s'intéresse à la nième ligne du triangle de Pascal constituée par les termes C(n,0) = 1, C(n,1) = n, C(n,2) = n(n – 1)/2,….C(n,k) = n !/[k !(n – k)!],…. Q1 Déterminer le plus petit ...
Problème proposé par Pierre Jullien Parcourons le quadrillage N*N illimité à droite et en bas, en partant de (0,0), (0,1), (1,0), (2,0), (1,1), (0,2), (0,3),(1,2), (2,1), (3,0), (4,0), (3,1), etc. ...
Problème proposé par Pierre Renfer Démontrer, pour tout entier naturel n non nul, l'égalité suivante :
Solution de Pierre Renfer et commentaire de Daniel Collignon
Dénombrer les entiers distincts de la forme ab avec a et b entiers positifs tels que 2 ≤ a ≤ 101 et 2≤ b ≤ 101.
Michel Lafond,Claude Felloneau,Anne Bauval,Pierre Henri Palmade,Jean Moreau de ...
Problème proposé par Dominique Souder [club-math-and-magie-souder.jimdosite.com] Déterminer le nombre de façons d’écrire CONFINEMENT en suivant une ligne brisée selon les verticales et les horizontales ...
On dispose des pions sur un échiquier de 8x8 cases (un pion au plus par case) de façon à avoir, dans chaque ligne et chaque colonne, un nombre impair de pions. Combien de configurations différentes ...
Problème proposé par Elie Stinès En 2019, Zig et Puce se trouvaient dans une pièce dans laquelle étaient réunis des idiots (Zig et Puce ne sont évidemment pas des idiots).A chaque fois qu’il ouvre ...
Ses n îles sont reliées par des ponts, mais par économie ce réseau n'offre qu'un itinéraire possible pour relier une île quelconque à une autre. Chaque île a un volcan dont l'éruption la détruirait ...
Le roi Arthur a convoqué n chevaliers installés autour de la Table ronde dans le sens horaire 1,2,…n. Choisissant un entier k et partant du chevalier n°1, il fait le tour de la Table dans le sens horaire, ...
Zig pratique le basket depuis de longues années. Pour s’entrainer il effectue des lancers libres avec un panier de basket sur pied (voir photo ci-contre). Au cours de ses quatre premiers essais, il ...
Puce dispose de trois lots de boules rouges, bleues et vertes. Il met dans une même urne les boules rouges et bleues (à l’exclusion des boules vertes) et constate qu’avec un tirage (sans remise) de ...
Après que tous se sont levés pour applaudir, chacun des douze convives se rasseoit autour de la table ronde, mais pas forcément à la même place : ce peut être une place voisine immédiate de la ...
Q1 Puce tire (sans remise) trois boules dans une première urne qui contient r boules rouges numérotées de 1 à r ≥ 3.Il constate que la probabilité de tirer trois numéros avec lesquels il peut former ...
Problème proposé par Elie Stinès p et r désignent des nombres réels. n désigne un nombre entier. Dans un pays purement imaginaire, les citoyens sont partagés en deux catégories : les Beaux et les Autres. ...
Problème proposé par Pierre Renfer Q1 On considère les colliers de six perles blanches ou noires placées aux sommets d’un hexagone régulier. Combien obtient-on de classes de colliers si l’on identifie ...
Zig et Puce se lancent dans un combat sans merci de construction de triangles arbitré par Diophante. Première manche [*] Diophante confie à Zig m₁ bâtonnets de longueurs toutes differentes1,2,3,…m₁, ...
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin Puce trace un polygone convexe de k côtés et dénombre les divisions en triangles par des diagonales non sécantes. Zig de son côté trace un polygone ...
Problème proposé par Bernard Vignes n personnes se sont assises autour d’une table présidée par le patriarche qui est le plus âgé. A partir de lui, les âges des convives vont en décroissant dans le ...
Parmi tous les entiers à neuf chiffres qui contiennent chacun des chiffres de 1 à 9 exactement une fois, on choisit l’un d’eux au hasard*. Calculer sous la forme d’une fraction rationnelle irréductible ...
Deux pièces de monnaie, A et B, sont lancées simultanément et de manière répétée. Quelle est la probabilité qu'au k-ième lancer le nombre cumulé des faces de la pièce A soit pour la première fois égal ...
Un pensionnat de 2022 jeunes filles se promène chaque jour, en procession par rangs de deux. Combien de promenades peut-on faire en sorte qu'aucune jeune fille n'ait deux fois la même voisine ?
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Problème proposé par Stan Wagon Une urne contient 80 boules qui se répartissent ainsi : 4 de couleur blanche, 10 de couleur noire, 16 de couleur rouge, 22 de couleur verte et 28 de couleur bleue. Une ...
J’écris sur une même ligne une suite S de n entiers distincts strictement positifs telle que n – 3 d’entre eux sont égaux, pas nécessairement de manière unique, à la moyenne géométrique de deux ...
Problème proposé par Raymond Bloch Un « k-bijou » est un nombre entier positif de k chiffres tel que si l’on partage par le milieu son carré qui a 2k chiffres, la somme des deux nombres* de k ...
Jules et Romain disputent une séquence de 19 parties d'échecs.
Romain étant beaucoup moins expert, Jules lui accorde la victoire dès que Romain gagne deux parties de suite.
Selon l'usage, chacun ...
Neuf boules numérotées de 1 à 9 sont réparties au hasard trois par trois dans trois urnes distinctes. Q1 Calculer la probabilité p1 qu’il y ait une urne qui contient trois numéros impairs. Q2 Calculer ...
Zig joue à la roulette et à chaque partie il mise systématiquement un euro (1 €) sur une chance simple(1) (noir/rouge ou pair/impair ou manque/passe). Comme il est chanceux et qu’il a observé longuement ...
Q1 Déterminer le nombre maximum Rn de régions délimitées par n lignes en forme de zig-zag à trois branchesdont deux sont parallèles. Ci-après une figure avec deux zigzags. Q2 Prouver que quel ...
La croix verte de la pharmacie de mon quartier affiche en alternance la température ambiante en degré Celsius puis en degré Fahrenheit. On suppose que la température suit une loi continue uniformément ...
Zig met dans une urne cubique de 50 cm de côté des boules de 10 cm de diamètre les unes bleues et les autres (en nombre pair) rouges. Puce tire au hasard deux boules de l’urne, note leurs couleurs ...
Problème proposé par Bernard Vignes Soit un entier naturel n > 0.On désigne par f(n) le nombre de toutes les suites dont le premier terme est 1, le dernier terme est n et les termes intermédiaires ...
Jules tire une à une les cartes d'un jeu de 52, jusqu'à retourner un as noir. Puis c'est Romain qui prend le paquet et tire les cartes une à une jusqu'à retourner l'autre as noir.
Le gagnant est ...
Un entier positif n est dit « farfelu » si la somme non nulle de ses diviseurs multiples de 5 est égale à la somme de ses diviseurs pairs. Dénombrer les entiers farfelus compris entre 1 et 1012 (bornes ...
Par convention, la séquence des entiers naturels de 1 à n est appelée « n-primophile » si l’on parvient à arranger les entiers sur une seule ligne de telle sorte que la somme de deux termes adjacents ...
Super-cavalier (3,8) se déplace sur un échiquier de dimensions infinies de 3 cases horizontalement ou verticalement puis de 8 cases dans une direction perpendiculaire à la direction qu’il vient de prendre. ...
Le jeu de Sim a pour terrain initial les six sommets d’un hexagone régulier numérotés de 1 à 6 dans le sens anti-horaire. Deux joueurs munis de deux crayons de couleurs différentes (Rouge et Bleu ...
Une fourmi part de l’un des sommets A d’une boite rectangulaire dont les dimensions sont x, y et z. Elle se déplace sur les faces de la boite en décrivant des segments de droite ...
Un treillis métallique inscrit dans un cube 2 x 2 x 2 est constitué de 54 tiges métalliques de longueur unité avec 27 points de jonction. Une fourmi part du point A et rampe le long des tiges selon ...
La Montagne bourbonnaise comporte un réseau de sentiers de randonnée pédestre qui relient entre eux 10 villages (vi, i = 1,2,..,10) avec les caractéristiques suivantes : C1 : deux villages ...
Cryptarithme proposé par Raymond Bloch Reconstituer la multiplication MEXIQUE x k = AMERIQUE où k est un nombre entier et les lettres représentent des chiffres distincts choisis dans ...
