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G294. Les nombres mozartiens

G2. Combinatoire - Dénombrements

Un entier M est appelé mozartien¹ si chacun des chiffres de 0 à 9 est en nombre pair sur l'ensemble des entiers de 1 à M.
Q₁ Démontrer qu'un entier mozartien est toujours pair.
Q₂ Déterminer le plus petit entier mozartien.
Q₃ Combien y a-t-il d'entiers mozartiens ≤ 2016.
Q₄ Déterminer le plus petit entier mozartien à 5 chiffres.
Q₅ Démontrer qu'il existe une infinité d'entiers mozartiens.
Pour les plus courageux: un entier S est appelé salérien si chacun des chiffres de 0 à 9 est en nombre impair sur l'ensemble des entiers de 1 à S.
Mêmes questions que précédemment.
¹Source : d'après Middle European Mathematical Olympiad 2016

Solution