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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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G2909. Divisibilités en série Imprimer Envoyer
G2. Combinatoire - Dénombrements

calculator_edit.png  nouveau 

Problème proposé par Christian Romon
Pour n = 1,2,3,....on considère la suite {un} des entiers égaux au produit de 7 entiers consécutifs commençant par n.
Ainsi u1 = 1.2.3.4.5.6.7 = 7! = 5040, u2 = 2.3.4.5.6.7.8 = 8!/1! = 40320, u3 = 3.4.5.6.7.8.9 = 9!/2! = 181440,...,
un = n(n+1).(n+2).(n+3).(n+4).(n+5).(n+6)= (n + 6)!/(n − 1)!.

A partir de cette suite, on construit la suite {vk} définie par le terme général vkimage003qui est  la somme des k premiers termes de la suite {un}.
Ainsi v1=5040,v2=45360,v3=226800,....
Démontrer qu'il existe au moins huit termes de la suite {vk}qui sont divisibles par 2019.

Pour les plus courageux: N et p étant deux entiers quelqconques fixés à l'avance > 1,on construit successivement la suite {un} des entiers égaux au produit de p entiers consécutifs commençant par n pour n = 1,2,3,... puis la suite {vk} dont le terme général vkimage003est égal à  la somme des k premiers termes de la suite {un}.Démontrer qu'il existe au moins p + 1 termes de la suite {vk} qui sont divisibles par N.



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