Cette abeille ouvrière placée à l'origine O décide de butiner de le long de l'axe x'Ox. Elle effectue des déplacements successifs de longueurs égales à 3 centimètres,5 centimètres,9 centimètres,17 centimètres,... et de manière générale 2^k + 1 centimètres lors du k-ième déplacement. Avant chacun d'eux elle choisit avec la même probabilité 1/2 le sens des x positifs ou bien le sens des x négatifs.
Q₁ En supposant que cette abeille est immortelle, démontrer qu'elle peut atteindre n'importe quel point d'abscisse entière, positive, négative ou nulle de l'axe x'Ox après être passée éventuellement plusieurs fois par un ou plusieurs points. Déterminer le nombre minimum de déplacements qui lui permet d'atteindre le point d'abscisse = + 12 centimètres.
Q₂ En supposant que le plus grand des déplacements successifs n'excède pas 25 mètres,déterminer :
 - les probabilités respectives pour que l'abeille atteigne le point d'abscisse 2016 centimètres, le point d'abscisse 2015 centimètres, le point d'abscisse 2017 centimètres.
 - le point d'abscisse entière positive le plus proche de l'origine que l'abeille ne peut pas atteindre,
 - le nombre de points d'abscisses entières strictement positives que l'abeille est susceptible d'atteindre.