Problème proposé par Pierre Jullien


J'ai fabriqué avec une imprimante 3D  un arbre quaternaire sur quatre étages  (voir les deux images ci-contre). A l'aide d'un alphabet (α,β,γ,δ), j'attribue aux quatre rameaux issus d'un même rameau les libellés suivants:
                                   α  β
                                   γ  δ
Les 4⁴ = 256  rameaux de l'arbre représentent autant de mots de longueur 4, lus, par convention, de l'étage supérieur vers le bas.
Chaque mot est repéré  par ses coordonnées (i,j) de l’étage supérieur  avec i = 1 à 16 et j = 1 à 16, les 4 coins ayant respectivement pour coordonnées (1,1) ,(1,16),(16,1) et (16,16).
Par exemple, avec les lettres (α,β,γ,δ), les mots αααα, ββββ, γγγγ, δδδδ sont en (1,1), (1,16), (16,1), (16,16) et le mot βααα est en (1,2).
Q₁
a)  à partir de l’alphabet {D,N,O,R} donner les coordonnées (i,j) des mots NORD,ROND,DODO.
b)  trouver un alphabet avec lequel on peut écrire 5 noms communs du Petit Larousse Illustré situés respectivement en (7,13),(10,11),(13,10),(7,11) et (4,15).

Imaginons un arbre ennéanaire avec 9 étages.

Q₂. Je considère l’alphabet {A,D,E,H,I,N,O,P,T} et je codifie les neuf rameaux issus d’un même rameau de la manière suivante:
                                   A D E
                                   H I N
                                   O P T
Où se loge DIOPHANTE à l’étage supérieur (carré de dimension 3⁹)?