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Plus de 3000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :

Très facile

Facile

Moyen

Difficile

Très difficile

Variable

 

D'autre part, les problèmes se traitent généralement à la main et sont alors repérés par l'icône

 

Pour faciliter leur résolution, l'ordinateur peut être utile. Dans ce cas, vous verrez apparaître aussi cette icône

 

Quand l'ordinateur est indispensable, l'icône figure seule.

 

Pour avoir accès aux solutions de chaque problème, cliquez sur solution.

 

Les figures et les graphes ont été réalisés grâce au logiciel Declic.

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G173. Le hasard mène à π Imprimer Envoyer
G1. Calcul des probabilités

calculator_edit.png  

Zig constate que son ordinateur n’affiche plus le nombre π mais par bonheur la fonction ALEA() qui génère aléatoirement un nombre réel compris entre 0 et 1 marche encore.Il écrit alors un programme dans lequel il définit une variable Z égale à l’entier le plus proche du rapport de deux nombres réels X et Y choisis au hasard indépendamment l’un de l’autre grâce à la fonction ALEA().
Q1 Quelle est la probabilité que Z soit un entier pair ?
Zig insère l’instruction qui donne Z dans une boucle  qui comporte n = 10k itérations.
Q2 Trouver la valeur minimale de k qui donne à Zig 99 chances sur 100 d’obtenir une estimation du nombre π avec les six premiers bons chiffres 3,14159.


pdfJean Moreau de Saint Martin,pdfMichel Lafond,pdfPatrick Gordon,pdfPaul Voyer et pdfJacques Guitonneau ont résolu le problème en retrouvant la formule chère à Leibniz π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 ...
La probabilité que Z soit un entier pair est égale à (5 - π) / 4 = 0,464601.. et avec 1013 itérations Zig a plus de 99 chances sur 100 d'obtenir une estimation de π avec les 6 premiers chiffres exacts.
Par ailleurs,sur son site Bienvenue en Mathématiques magiques,Thérèse Eveilleau a conçu une nouvelle animation pour simuler les itérations effectuées par Zig sur son ordinateur. Avec la magie du hasard et...de Leibniz, on observe les valeurs pas à pas de l'entier le plus proche des rapports X/Y et les estimations de π qui en découlent et s'améliorent avec un nombre croissant d'itérations.

 
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