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Plus de 2000 récréations et problÚmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothÚque de problÚmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thÚmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problÚmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Accueil ProblĂšmes par thĂšmes I. Trajets optimaux I164. Des parcours transcendants....et plus ordinaires

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I164. Des parcours transcendants....et plus ordinaires Imprimer Envoyer
I. Trajets optimaux

calculator_edit.png  

Une fourmi part de l’un des sommets A d’une boite rectangulaire dont les dimensions sont  x, y et z.
Elle se dĂ©place sur les  faces de la boite en dĂ©crivant des segments de droite  qui font toujours des angles de 45° avec les cĂŽtĂ©s de la boite. Lorsque la fourmi arrive sur un cĂŽtĂ© de la boite, elle choisit la direction gĂ©odĂ©sique qui lui ferait dĂ©crire une ligne droite si les deux faces partageant ce cĂŽtĂ© Ă©taient dĂ©pliĂ©es dans un mĂȘme plan . La fourmi s’arrĂȘte quand elle atteint un sommet de la boite, pas nĂ©cessairement distinct du point de dĂ©part. On dĂ©signe alors par N le nombre de segments de droite parcourus par la fourmi et par L la longueur de son pĂ©riple.

Q1 On prend x = √2, y = π et z= e=2.718281828...DĂ©montrer que la fourmi parvient Ă  revenir Ă  son point de dĂ©part. Donner les valeurs possibles de N et de L.

Q2 Prouver s’il existe ou non les dimensions entiùres x,y,z d’une boite rectangulaire sur laquelle :
-    la fourmi partant d’un sommet A parvient Ă  un sommet distinct de A avec N = 5,
-    la fourmi partant d’un sommet A revient en A avec N = 6,
-    la fourmi partant  d’un sommet A revient en A avec N = 9,
-    la fourmi partant  d’un sommet A parvient Ă  un sommet pas nĂ©cessairement distinct de A avec N = 2015.
   
   

pdfJean Nicot,pdfPierre Jullien et pdfBernard Vignes ont résolu le problÚme.
On consultera avec intĂ©rĂȘt la rubrique The mystery of the sealed box de James M.Henle qui est la source de ce problĂšme ainsi que la rubrique 1183.A long walk on a box  de Stan Wagon sur son site "Macalester College problems of the Week".

 
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