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Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Accueil Problèmes par thèmes H. Graphes et circuits H136. Randonnées bourbonnaises (1er épisode)

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H136. Randonnées bourbonnaises (1er épisode) Imprimer Envoyer
H. Graphes et circuits

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La Montagne bourbonnaise comporte un réseau de sentiers de randonnée pédestre qui relient entre eux 10 villages (vi, i = 1,2,..,10) avec  les caractéristiques suivantes :
C1 : deux villages  quelconques sont reliés par un sentier au plus,
C2 : il n’y a pas de sentier qui relie un village à lui-même (absence de boucle),
C3 : tout circuit de randonnée passe par cinq villages au moins,
C4 : deux sentiers distincts ne se rencontrent jamais en dehors des villages.

Q1 Le réseau contient le plus grand nombre possible s1 de sentiers compatible avec ces quatre caractéristiques.
Déterminer s1  et donner une représentation graphique du réseau correspondant R1 qui rend maximum le nombre de circuits de randonnée distincts. Existe-t-il dans ce réseau R1 un circuit qui passe par les dix villages sans traverser deux fois le même village?
Q2 La Communauté de villages décide de reconfigurer le réseau de sentiers de sorte que deux sentiers distincts peuvent désormais se croiser en dehors des villages. Les trois premières caractéristiques C1,C2 et C3 sont maintenues et dans tout circuit de randonnée passant par cinq villages au moins, on s'interdit de changer de sentier lorsque celui-ci croise un ou plusieurs autres sentiers. Déterminer le plus grand nombre possible s2 de sentiers dans le nouveau réseau et donner une représentation graphique du réseau R2 qui comporte le minimum de croisements. Comment peut-on passer de R1 à R2 avec le minimum de modifications?


pdfJean Moreau de Saint Martin,pdfPaul Voyer,pdfBernard Vignes et pdfDaniel Collignon ont résolu le problème avec s1 = 13 sentiers et 14 circuits distincts dans le réseau R1 puis s2 = 15 sentiers dans le réseau R2.

 
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