Dunabla veut répartir les entiers de 1 à 49 en 3 sous-ensembles tels que 3 éléments distincts d'un même sous-ensemble ne vérifient jamais x+y=z. Pouvez-vous l'aider ? Problème paru dans La ...
Dix-sept champions d'échecs participent à un championnat. Beaucoup d'entre eux se sont déjà affrontés par le passé, en sorte que, quelle que soit la façon dont on en prend 5, au moins l'un ...
Une baguette de longueur 1 s'est cassée accidentellement en 4 morceaux (les points de cassure se répartissent au hasard sur la longueur de la baguette, indépendamment les uns des autres). a) ...
Admettant que le lancer d'une pièce donne pile ou face (P ou F) de façon équiprobable, quelle est la loi de probabilité du nombre de lancers nécessaire pour obtenir pour la première fois une ...
Un trièdre trirectangle se déplace de façon que les trois arêtes restent en contact avec un cercle donné. Quel est le lieu du sommet du trièdre ? Source : Leslie F. Reid, Missouri State ...
Dans un plan où est donné un triangle ABC, on définit la transformation T qui fait correspondre à un point quelconque M le point T(M) barycentre des points A,B,C affectés des poids respectifs ...
Soit un triangle ABC équilatéral, (C) son cercle inscrit, de centre I. A tout point M appartenant à (C), on fait correspondre M', tel que AI est bissectrice de l'angle MAM', BI bissectrice ...
L'énoncé (au format PDF) est ici Problème proposé par M.D. Indjoudjian, paru dans La Jaune et la Rouge de mars 2004
solution
Problème proposé par Gilles Josse
On désigne par T(n) le nombre des triangles non dégénérés dont les sommets sont choisis parmi les n2 points de coordonnées entières d’un maillage carré n x ...
Problème proposé par Michel Lafond Pour numéroter toutes les pages d'un livre, on a utilisé exactement 21,2 % de chiffres "1". Combien ce livre a t-il de pages ? Michel Lafond,Jean Nicot,Paul ...
Etant donnée une circonférence (L), trouver son centre O par une construction géométrique n'utilisant que le compas. Problème publié en novembre 2002 dans La Jaune et la Rouge solution ...
Un prisme ayant pour section droite un triangle donné, trouver un plan qui le coupe suivant un triangle équilatéral. Problème publié en mai 2002 dans La Jaune et la Rouge solution
...
Une suite de nombres est définie par la récurrence
Si les 3 premiers termes sont des entiers, à quelle condition y a-t-il des termes non entiers dans la suite ?
Problème paru ...
Le produit 1.2.3...99.100 se termine par un certain nombre de zéros, mais quel est donc son dernier chiffre non nul ? Même question pour 2005!=1.2...2004.2005. Problème proposé par Pierre ...
On considère l'ensemble E des entiers de 1 à 31. a) Soit Q une partie de E à 4 éléments; montrer qu'on peut toujours former une partie P à 5 éléments telle que les sommes pi+qj prennent des ...
Parmi les triangles rectangles à côtés mesurés par des entiers, on constate qu'il y en a exactement 600 ayant un côté de longueur n. Quelle est la plus petite valeur de n ?
Problème proposé par ...
Déterminer l'entier n tel que la somme des puissances cinquièmes des entiers de 1 à n soit le carré d'un nombre de 6 chiffres (en écriture décimale). Problème paru dans La Jaune et la Rouge de novembre ...
On donne deux entiers a et b, strictement supérieus à 1 et premiers entre eux. Dans une liste des entiers strictement positifs, sont démasqués les entiers n=ax+by avec x et y positifs ou nuls. Combien ...
Trouver un triplet d'entiers positifs (p,q,r) premiers entre eux, vérifiant p3+q3=9r3, et autre que les triplets (1,2,1) et (2,1,1).
Problème paru dans La Jaune et la Rouge d'avril et mai ...
Initialement les n sommets d'un graphe sont jaunes. Une opération autorisée consiste à choisir un sommet et changer sa couleur (de jaune à rouge, ou inversement), ainsi que celles de tous ses ...
L'hexagone A1A2A3A4A5A6 est circonscrit à la conique Γ. Montrer que l'hexagone B1B2B3B4B5B6 où B1 est l'intersection A1A3 x A2A4 des droites A1A3 et A2A4, B2=A2A4 x A3A5, B3=A3A5 x A4A6, B4=A4A6 ...
On trace toutes les cordes qui relient n points pris deux à deux sur la circonférence d’un cercle sans que trois d’entre elles soient concourantes à l’intérieur du cercle. Elles partagent le cercle ...
Dans un triangle ABC l’angle en A vaut 79,95° et le point sous lequel on voit les trois côtés du triangle sous le même angle de 120°, est aligné avec le centre de gravité et l’orthocentre. Calculer ...
Deux entiers naturels distincts sont considérés comme indépendants s’ils sont relativement premiers entre eux (i.e. leur PGCD est égal à 1). Les nombres entiers d’un ensemble E sont considérés comme ...
P1 : Zig écrit un entier positif sur chaque face d’un cube puis il affecte à chaque sommet du cube, un nombre qui est égal au produit des nombres écrits sur les trois faces passant par ce sommet. La ...
On considère la suite S bien connue de Conway 1,11,21,1211,111221,312211,.... dans laquelle chaque terme est obtenu en dénombrant puis en écrivant pas à pas tous les chiffres qui figurent dans la terme ...
Q1 - Commençons par le clin d'œil d'Archimède à travers deux trous cylindriques que je perce dans un cube en bois homogène de masse égale à 1000 grammes. Chacun des trous traverse deux faces ...
Problème proposé par Michel Lafond Il est bien connu que les compagnies aériennes fixent des limites aux bagages à main assimilés à des parallélépipèdes rectangles avec une somme des trois dimensions ...
D320-Enoncé Jean Moreau de Saint Martin,Pierre Henri Palmade et Pierre Jullien ont résolu le problème. Commentaires et illustration
A l'intérieur d'un triangle équilatéral ABC, côtés inclus, on place un nombre
arbitraire de points qui permettent de partager le triangle ABC en triangles plus petits adjacents entre eux comme dans ...
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin Le coffre-fort d'un club de 7 membres ne doit pouvoir être ouvert qu'en présence de 3 membres. On veut assurer cette condition par un système de ...
Sudoku proposé par Michel Lafond Un sudoku décimal est construit avec un tableau carré de 10 x 10 cases, divisé en 9 blocs (voir figure n°1 ci-après), chaque case contenant un chiffre décimal avec ...
Il s'agit d'une variante du Sudoku dans laquelle les grilles à remplir sont vierges, ce qui n'est jamais le cas des grilles traditionnelles 9 x 9 qui comportent au moins 17 chiffres.
L'objectif ...
Dans une grille de Kakuro, comme la grille G ci-après,chaque case, à l'exception des cases noires,reçoit un chiffre de 1 à 9.Chacun de ces chiffres n'est répété ni dans sa ligne ni dans sa colonne ...
F125-Solution
Vincent Vermaut , Etienne Desclin et Thierry Genoud ont résolu la grille.
Ce problème est une variante du problème A445 proposé par Jean Drabbe.
Trouver le plus petit entier n tel qu'il existe p + q entiers n , tous distincts entre eux tels ...
Problème proposé par Jérémy Junay
Je
suis en train de lire sur une table plate. A quelle hauteur au-dessus de la
table doit se trouver la flamme d'une ...
Les entiers naturels 1,2,3,... sont pris pour des cibles. Chacune d’elles c est accessible, s’il existe au moins un entier naturel f appelé flèche tel que la somme de f et de la somme des chiffres ...
Problème proposé par Pierre Henri Palmade
Zig et Puce fixent un nombre entier plafond N, puis choisissent alternativement un nombre inférieur ou égal à N qui n'est pas diviseur d'un nombre ...
Problème proposé par Michel Lafond
Zig et Puce jouent au jeu suivant : sur la table, il y a 8 cartes numérotées 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Chacun à tour de rôle prend une carte présente sur la ...
Cet hiver, Arachné et Tarentule ont tissé leur toiles à deux sommets distincts A et T d’une pièce cubique. Le 1er janvier 2011 pour se dégourdir les pattes, elles décident de faire des promenades ...
Cette grille est proposée par Etienne Desclin
La grille a été résolue par Etienne Joly.
Cette grille est proposée par Etienne Desclin
Etienne Joly et Laurent Fretin ont résolu la grille.
Cette grille est proposée par Etienne Desclin
Philippe Laugerat et F. Hajjar ont résolu la grille.
Grille proposée par Etienne Desclin
La grille a été résolue par Philippe Laugerat et Vincent Vermaut
solution
Jean François Payen, Vincent Vermaut, Etienne Desclin et Jérôme Pierard ont résolu la grille dont voici la solution:
Philippe Laugerat fournit le détail ...
Grille proposée par Etienne Desclin
Philippe Laugerat et Vincent Vermaut ont résolu la grille dont voici la solution donnée par l'auteur.
Ce problème est proposé par Pierre Jullien.
On
considère un triangle acutangle T tel que le tétraèdre dont toutes les
faces sont égales à T peut rouler(en basculant sur une arête) sans
glisser ...
Réaliser la dissection d'un triangle ABC acutangle en 19 triangles disjoints entre eux de telle sorte qu'à chaque sommet de la nouvelle configuration, y compris les trois sommets du triangle d'origine, ...
Problème proposé par Patrick Gordon
Mes petits-enfants Eliott et Céline ont chacun une belle
collection, l'un de calots en agate, l'autre de micro-billes métalliques.
...
Problème proposé par Vincent Pantaloni
Avec la régle et le compas, construire la figure
ci-après dans laquelle deux segments de même couleur sont de même longueur.
L'auteur du ...
Problème proposé par Pierre Patrick Gordon
Q1 - La ville de Pythagorica a la forme d'un triangle
rectangle OAB dont les sommets A et B,l'un sur l'axe des x et l'autre sur l'axe
des y dans ...
Problème proposé par Pierre Jullien
Calculer le nombre total N de points d'intersection des
diagonales intérieures d'un octodécagone régulier (18 côtés) et donner la distribution
de ...
Par convention, on dit qu'un entier naturel m est
courtois s'il existe au moins un entier n tel qu'on puisse écrire la
relation n = m.d(n) dans laquelle d(n) est le nombre de diviseurs de n,
incluant ...
Une séquence infinie est définie par : - son premier terme x1 = 2008/1515 qui est le rapport du millésime de l'année en cours à l'année de la bataille de Marignan. - la relation xn+1 = xn + 1/[xn] ...
Par convention, on dit qu'un entier naturel n est « docile » si l'on peut trouver un ensemble de plusieurs nombres rationnels positifs dont la somme et le produit sont égaux à n. A contrario ...
- Trouver les nombres premiers p tels que 4p + 1 et 7p - 4 sont l'un et l'autre des nombres premiers. - Trouver les nombres premiers p tels que 2p2 + 13 est un nombre premier. - Trouver les nombres ...
D156-Billes de clown-énoncé
Jean Moreau de Saint Martin,Fabien Gigante,Pierre Henri Palmade,Michel Vanel ont résolu le problème. Autre solution
F124-Solution
J125-énoncé
Claude Morin,Pierre Henri Palmade et Daniel Collignon ont résolu le problème
Ce problème a été suggéré par Sébastien Long. Tous nos remerciements d'avoir songé au kangourou pour nous faire découvrir son parcours sur un échiquier. La parcours du cavalier sur un échiquier est ...
Deux fourmis vaquent sur la surface d'un morceau de sucre qui a la forme d'un parallélépipède dont les dimensions sont 1 cm x 1 cm x 2 cm. Question n°1 si l'une des fourmis se trouve sur l'un quelconque ...
Le roi Arthur réunit autour de l'immense Table Ronde 2007 de ses chevaliers, soit au total 2008 convives. Chacun d'eux est en bon termes avec au moins 1004 des chevaliers présents. Démontrer que le ...
On considère n points Pi dans le plan dont toutes les distances prises 2 à 2 sont différentes entre elles. On dit par convention que Pj est vassal de Pi si Pj a Pi pour point le plus proche. Pi a alors ...
Zéphyrin n'est plus traqué par Goupil (voir problème E625 ). Il a creusé 2006 terriers qu'il numérote de 1 à 2006 et qui sont régulièrement espacés de 1 mètre le long de l'axe des abscisses. A partir ...
Le châtelain du village vit dans un manoir pour le moins original. Il a une forme circulaire et un seul niveau avec 14 pièces numérotées de 1 à 14, réparties autour d'une grande salle circulaire centrale ...
Paul Erdös a montré que sur un graphe complet de n sommets et pour n < 7, il est impossible de disposer de flèches de telle sorte qu'on puisse atteindre en une seule étape deux sommets quelconques ...
Cette « oeuvre d'art » contemporaine
monumentale qui a la forme d'un parallélépipède rectangle est constituée
de 362 558 592 cubes multicolores de 1cm de côté
chacun. Les dimensions du parallélépipède
sont ...
On considère les ensembles constitués d'un nombre impair 2n+1 d'entiers naturels distincts entre eux dont la somme est strictement supérieure à 2008 et dont tout sous-ensemble de n éléments a une somme ...
Trouver cinq puissances parfaites distinctes toutes positives en progression arithmétique et démontrer qu'il existe une progression arithmétique de 2008 puissances parfaites distinctes.
Source ...
Jean Moreau de Saint Martin, Pierre Henri Palmade, Daniel Collignon, Fabien Gigante, Bruno Kientzel et Antoine Verroken ont répondu au problème.
Par ailleurs ...
Il est bien connu que l'équation x2008 + y2008 = z2008 n'a pas de solutions entières x,y et z > 0 (théorème de Fermat démontré il y a quelques années par Andrew J.Wiles pour tout exposant n >2). ...
Des cartons d'emballage tous identiques de forme parallélépipédique dont les côtés a, b et c s'expriment en nombres entiers de décimètres, distincts entre eux, servent à emballer quatre catégories ...
1) Trouver le plus petit entier naturel k tel qu'il existe
un entier inférieur ou égal à 2009k qui a plus d'un
million de diviseurs.
2) Existe-t-il au moins un entier ...
On considère la séquence de nombre entiers définie par son premier terme a(1) = 0 et la relation de récurrence suivante :
- a(n) = a(n-1) + 1 si le plus grand diviseur impair de n est de la forme 4k ...
Un nombre impair N de chevaliers participent à un gigantesque banquet autour de la fameuse Table Ronde. Chaque convive est invité à choisir un nombre entier (positif, négatif ou nul) et à le communiquer ...
Q1
Existe-t-il six entiers naturels a, b, c, d, e et f tous distincts entre eux et
inférieurs ...
Soit un entier naturel N positif à
2009 chiffres. On calcule la somme des carrés de ses chiffres et on ...
Trouver les nombres réels positifs x tels que x[x[x[x[x[x]]]]] = 221 avec ...
Problème proposé par Jérémy
Junay.
Paolo, lointain descendant de Leonardo ...
Une
fraction unitaire a pour numérateur 1.
1)
Trouver ...
Soit N = abc un nombre premier dont
les chiffres ...
Gilles Nithart,Claude Felloneau,Jean Moreau de Saint Martin,Daniel Collignon,Pierre Henri Palmade et Antoine Verroken ont aisément terrassé les deux colosses. ...
Soient les quatre nombres entiers qui ont respectivement
2009, 2010, 2011 et 32769 chiffres et dont les deux chiffres extrêmes 1 sont
séparés exclusivement par des 0. Démontrer que ces quatre nombres ...
On considère la suite des entiers naturels consécutifs de 1
à 2n et on détermine le
plus grand diviseur impair de chacun d'eux.La somme de ces 2n diviseurs contient 2010 chiffres.Calculer n.
...
On considère le produit des factorielles des 100 premiers nombres entiers naturels.Quelle factorielle (i.e.le vilain petit canard ) faut il exclure pour que le produit des 99 factorielles restantes ...
Problème proposé par Dominique Roux qui avertit :
« Selon vos affinités pour l'algèbre ou la géométrie, vous avez deux
manières de traiter ce problème ».
Diophante ...
On considère quatre progressions arithmétiques dont tous les
termes en nombre infini sont des entiers positifs. Quand on considère
l'ensemble de leurs termes, chacun des nombres de 1 à 12 y apparaît ...
Les dix produits de cinq nombres réels positifs a, b, c, d
et e pris deux par deux sont tous des nombres entiers. Cinq de ces produits dans
lesquels chacun des cinq nombres a, b, c, d et e est ...
En mémoire de leur illustre aïeul Leonhard, Johann et son
petit-fils Alexander viennent de fabriquer chacun une brique eulérienne qui a
la forme d'un parallélépipède rectangle ...
Par commodité on écrit ab = a^b. Dans
l'expression n = a^b^c, il est
indispensable de préciser l'ordre des opérations pour déterminer la valeur de
n. Pour ce faire on utilise des ...
Trouver tous les entiers naturels strictement positifs, pas nécessairement distincts, a,b,c et d d’une part et w,x,y et z d’autre part tels que la somme des quatre premiers est égal au produit ...
Problème proposé par Dominique Roux et Michel Texier
On appelle par convention « Rabrentier » un triangle isocèle dont les côtés a issus du sommet, la base b, les rayons R et r des cercles circonscrit ...
Q1 - Trouver l’entier n dont le produit de tous ses diviseurs, y compris 1 et lui-même, est égal à 10 077 696. Q2 - La somme des diviseurs d’un entier n, y compris 1 et n, est une puissance de 2. Montrer ...
Pb1 : Des boules numérotées de 1 à n avec 100 < n < 1 000 000 sont réparties dans deux sacs A et B. Le sac A contient une boule dont le numéro désigne le nombre de boules dans A. Après transfert ...
Je trace dans un même plan 2008 droites telles que deux d’entre elles ne sont jamais parallèles et trois d’entre elles ne se coupent jamais en un seul point. A l’intérieur de chacune des régions ...
Hippolyte écrit sur le tableau noir un palindrome à 2008 chiffres qu'il désigne par p1 et qui est composé de 2004 chiffres « 0 » encadrés aux extrêmes par deux chiffres 5 et séparés au milieu par deux ...
Diophante à Hippolyte : « J'ai trois petits-neveux dont les âges sont des entiers distincts. Le produit de leurs âges calculé il y a un an divise ...
Zig et Puce jouent à une variante de NIM. Ils fixent d'un commun
accord le nombre de départ d = 2 et la cible c = 34. A ...
