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Plus de 3000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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A473. Briques eulériennes Imprimer Envoyer
A4. Equations diophantiennes
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En mémoire de leur illustre aïeul Leonhard, Johann et son petit-fils Alexander viennent de fabriquer chacun une brique eulérienne qui a la forme d'un parallélépipède rectangle dont les dimensions des trois côtés et des diagonales des six faces sont des nombres entiers de millimètres,inférieurs à 1000, qui sont premiers entre eux dans leur ensemble.

-J : il y a exactement un côté de ma brique qui est un nombre impair,

-A : dans la mienne, un côté est divisible par 4 et un autre côté est divisible par 16,

-J : toujours dans la mienne, un côté est divisible par 3 et un autre côté est divisible par 9,

-A : j'observe qu'un côté de ma brique est divisible par 5,

-J : ...et un côté de ma brique est divisible par 11.

Démontrer que les affirmations de Johann et d'Alexander s'appliquent à toute brique eulérienne.

Ils observent que le volume en mm3 de leur brique est le même multiple entier de  leur âge exprimé en années.La somme de leurs âges est inférieure à 100. Quels sont les âges de Johann et d'Alexander ?

Solution

Une fois n'est pas coutume. Contrairement aux intentions de l'auteur du problème, il y a deux couples d'âges à la fois possibles et plausibles pour Leonhard et Alexander, respectivement (85,13) et (70,25).
Daniel Collignon,Claude Felloneau,Jean Moreau de Saint Martin,Pierre Henri Palmade,Jacques Guitonneau ont résolu le problème ainsi qu'Antoine Verroken qui nous signale l'article d'Alexandra Ortan et de Vincent Quenneville-Bélair intitulé Euler's_brick dans lequel sont démontrées les propriétés des divisibilités successives par 3,4,5...11 des côtés d'une brique eulérienne.
 
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