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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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D326. Des calots et des billes Imprimer Envoyer
D3. Cubes, parallélépipèdes, spheres
calculator_edit.png   
Problème proposé par Patrick Gordon

Mes petits-enfants Eliott et Céline ont chacun une belle collection, l'un de calots en agate, l'autre de micro-billes métalliques.

Eliott a empilé 14 calots d'un côté et 10 calots de l'autre (voir illustrations ci-après). On s'intéresse aux deux "pyramides des centres" suivantes :

-          P1 (14 calots) a pour sommet S, centre du calot le plus haut placé, et pour base le carré ABCD des centres des calots situés aux quatre coins du carré.

-          P2 (10 calots) a pour sommet S', centre du calot le plus haut placé, et pour base le triangle A'B'C' des centres des calots situés aux trois sommets du triangle équilatéral.

On définit la densité d'un empilement par le taux d'occupation de la pyramide par les sphères et les parties de sphères qui y sont contenues.

Quel est l'empilement le plus dense ?

d326a.jpg 
Empilement P1                Empilement P2                            




Céline de son côté a fabriqué une jolie boîte cubique de 21 cm de côté.

d326b.jpg


Elle la remplit d'abord avec ses micro-billes toutes identiques en couches successives dans lesquelles les billes sont disposées en carré. Afin de mesurer le coefficient d'occupation correspondant, elle complète le remplissage de la boîte avec de l'eau dont elle mesure le volume V1.

Elle remplit à nouveau la boîte avec ses billes en adoptant le mode de remplissage le plus dense possible puis elle mesure le volume d'eau V2 qui permet de remplir complètement la boîte.

Quelle économie d'eau (arrondie au cm3 le plus proche) le deuxième mode de remplissage a-t-il permis de réaliser par rapport au premier ?

Nota : on suppose que les billes sont suffisamment petites pour que, lors du remplissage de la boîte, les ajustements éventuels sur les bords et les coins soient sans incidence sur les valeurs de V1 et V2.



Eliott et Céline(voir leur solution)ont redécouvert par des voies détournées la conjecture de Képler qui donne la densité optimale d'un empilement de sphères dans l'espace.Ils nous informent qu'en 1998,Thomas Hales a annoncé avoir démontré cette conjecture avec l'aide d'un ordinateur. La plupart des experts sont certains à 99 % que cette démonstration est valide.
Nous félicitons Eliott et Céline pour leurs deux expériences et les remercions de l'information sur les travaux de Thomas Hales qui nécessitent encore de nombreuses années de vérifications informatiques.
 
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