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Plus de 1000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

 

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A329. Indépendants et solidaires Imprimer Envoyer
A3. Nombres remarquables
calculator_edit.png  
Deux entiers naturels distincts sont considérés comme indépendants s’ils sont relativement premiers entre eux (i.e. leur PGCD est égal à 1). Les nombres entiers d’un ensemble E sont considérés comme solidaires si la moyenne arithmétique des éléments de n’importe quel sous-ensemble de E est elle-même un nombre entier. Démontrer que pour tout n > 1, on sait trouver un ensemble de n entiers tous indépendants deux à deux et en même temps tous solidaires.

Solution

 

 

Commentaires (2)Add Comment
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Solution de A 329
Par Eric Aurissergues, avril 24, 2011
Je ne sais pas si ça compte, mais j'utilise une arme de destruction massive :

Soit n un nombre entier supérieur ou égal à 2, r un nombre entier premier avec n. La suite arithmétique uk = nk+r contient une infinité de nombres premiers ( Dirichlet ) donc en contient n. Leur somme est multiple de n, donc leur moyenne arithmétique est entière, et ils sont deux à deux premiers entre eux.
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oups
Par Eric Aurissergues, avril 24, 2011
Non, j'avais mal lu l'énoncé, la condition sur la moyenne arithmétique concerne tous les sous ensembles, pas seulement E lui même

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