Hippolyte écrit sur le tableau noir un palindrome à 2008 chiffres qu'il désigne par p₁ et qui est composé de 2004 chiffres « 0 » encadrés aux extrêmes par deux chiffres 5 et séparés au milieu par deux chiffres 7 :
p₁ = 50....(1002 fois)...0770....(1002 fois)....05
Diophante lui propose le jeu de bataille suivant : il écrit un nombre entier positif q₁ et Hippolyte a le choix d'écrire l'un des deux termes p₁ + q₁ + ou abs(p₁ - q₁) où abs( ) désigne la valeur absolue. Le résultat choisi par Hippolyte est alors le nombre p₂. Puis Diophante annonce l'entier positif q₂ et Hippolyte a de nouveau le choix entre p₂ + q₂ ou abs(p₂ - q₂) et ainsi de suite....
Diophante affirme qu'il peut gagner la bataille en obligeant Hippolyte à écrire une puissance quelconque de 10 de la forme 10ⁿ (avec n entier positif) en X tours au maximum.
Démontrer que Diophante peut toujours gagner la bataille. Déterminer X.