Small Fonts Default Fonts Large Fonts

Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Avertissement

Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :

Très facile

Facile

Moyen

Difficile

Très difficile

Variable

 

D'autre part, les problèmes se traitent généralement à la main et sont alors repérés par l'icône

 

Pour faciliter leur résolution, l'ordinateur peut être utile. Dans ce cas, vous verrez apparaître aussi cette icône

 

Quand l'ordinateur est indispensable, l'icône figure seule.

 

Pour avoir accès aux solutions de chaque problème, cliquez sur solution.

 

Les figures et les graphes ont été réalisés grâce au logiciel Declic.

Avertissement
Open/Close
A227. Nombres premiers au coeur d'un polynôme Imprimer Envoyer
A2. Algèbre élémentaire
calculator_edit.png  

Soit N = abc un nombre premier dont les chiffres sont les coefficients du polynôme P(x) = ax2 + bx + c. Démontrer que le polynôme P(x) est irréductible (en d'autres termes l'équation P(x) = 0 n'a pas de racines entières ou rationnelles).

Généralisation avec  un nombre premier dont les n chiffres (par exemple n = 2009) sont dans l'ordre de leur représentation décimale les coefficients d'un polynôme P(x) de degré n - 1. Démontrer que ce polynôme est toujours irréductible.

 


Ci-après les solutions de Daniel Collignon,Jean Drabbe,Jean Moreau de Saint Martin,Pierre Henri Palmade et Antoine Vanney.
Antoine Verroken fait observer que ce problème est une illustration du critère d'irréductibilité d'Arthur Cohn dont l'énoncé est accessible à l'adresse http://en.wikipedia.org/wiki/Cohn%27s_irreducibility_criterion et dont la démonstration est donnée dans les deux revues: American Mathematical Monthly-Volume 109 n°5 mai 2002 pp452-456 http://www.jstor.org/pss/2695645 et Canadian Journal of Mathematics 1981 n°5 pp1055-1059.

 

 
RSS 2.0 Our site is valid CSS Our site is valid XHTML 1.0 Transitional