Les entiers naturels de 0 à n sont écrits au tableau noir. Zig et Puce, chacun à son tour, effacent exactement k d’entre eux s’il en reste 2k ou 2k+1.La partie s’arrête quand il reste deux entiers ...
On définit la relation de récurrence pn = [2] dans laquelle n prend les valeurs entières 0,1,2,3...., a et b sont deux nombres réels, et [y] désignent respectivement la partie décimale ...
Zig et Puce prennent à tour de rôle des billes qui en contient n ≥ 2. Zig commence la partie et prend au moins une bille mais pas plus que n – 1. A chaque tour chaque joueur doit prendre au moins une ...
A partir de l’entier n = 2, à tour de rôle, Zig, qui joue le premier, puis Puce ajoutent au nombre précédemment affiché un diviseur de ce nombre qui lui est strictement inférieur. Par exemple, on a ...
Problème proposé par Jean-Marie Breton Antoine, Bernard, Christian, Daniel, Etienne, Fabrice, Gérard, Hector et Isidore sont prisonniers d 'Ulysse Roi d' Ithaque 1.Ce dernier les a emprisonnés ...
Zig donne à Puce une grande feuille de papier sur laquelle il a tracé 2014 triangles non dégénérés avec pour chacun d’eux les dimensions des côtés. Puce colorie respectivement en bleu, rouge ...
Diophante a mis au point une série d’énigmes mathématiques en cinq épisodes qui sont gravés sur cinq disques Blu-ray et la résolution complète de ces énigmes ne peut se faire que si on respecte l’ordre ...
Une partie de NIM au casino se déroule de la façon suivante : - Le croupier lance un dé sur le tapis qui affiche le numéro d (1 ≤ d ≤ 6) puis une bille sur le plateau ...
On considère trois tableaux carrés de côté n = 3,4,5 qui ont 9,16 et 25 cases que l’on remplit respectivement avec les entiers de 1 à 9, de 1 à 16 et de 1 à 25. Dans quel(s) tableau(x) ...
Après avoir choisi un point M à l’intérieur du côté BC d’un triangle équilatéral ABC et tracé la projection du point B en O sur la demi-droite AM, Zig s’adresse à Puce en ces termes: « Le rapport ...
Un triangle ABC est déjà tracé au tableau à la craie blanche. Zig et Puce jouent au jeu suivant : l’un après l’autre, Zig désigne un point sur le tableau puis Puce le marque à la craie rouge ou à la ...
Enigme proposée par Jean Moreau de Saint Martin Pour tout entier k ≥ 1, on considère deux suites : la première S2k est composée des 2k entiers 1,1,2,2,3,3,....,k,k inscrits dans une ligne de 2k cases ...
Problème proposée par Michel Lafond Zig et Puce jouent au jeu suivant : Zig choisit en secret deux nombres consécutifs a, a+1 dans E = . Puce essaie de les deviner en posant des ...
Problème proposé par Augustin Genoud Les cinq équipes A, B, C, D, E disputent un tournoi dans lequel chacune joue une seule fois contre les quatre autres équipes. On sait que l’équipe A a battu C ...
Des étudiants en nombre k > 2 sont simultanément informés par courrier nominatif de leur classement à une compétition de mathématiques. Ils décident de s'appeler au téléphone pour que tous soient ...
Problème proposé par Raymond Bloch Je suis accompagné de six amis. Leurs âges et le mien exprimés en années sont des entiers distincts compris entre 15 et 99. Les six produits des six âges par le mien ...
Problème proposé par Raymond Bloch Au sein de ce club de 2016 membres, si 2 membres se connaissent, alors ils ont le même nombre de connaissances au sein du club, et inversement. Si 2 membres ne se ...
Zig dit à Puce: "J'ai trouvé un entier X qui ajouté à un carré parfait N² donne le carré d'un nombre premier p < 100 et retranché de N² donne le carré d'un nombre premier q. L'un de ces nombres ...
Problème proposé par Augustin Genoud Une bande de papier est formée de n cases juxtaposées sur une seule ligne (5 ≤ n ≤21). Chaque case ne peut contenir qu’un pion. Albert et Benoît jouent à tour de ...
Deux entiers positifs distincts a et b sont écrits au tableau. Au premier tour,on efface le plus petit des deux et on le remplace par la fraction ab/abs(a ‒ b) où abs(.) désigne la valeur absolue de ...
Les entiers 1 à 2016 sont écrits sur le tableau noir. Zig choisit deux d'entre eux, les efface et les remplace par leur demi-somme. Par exemple il peut commencer par remplacer 7 et 16 par 11.5 ou bien ...
Voici un damier de dimensions 12 x 12 sur lequel des pions blancs et noirs ont été placés avec un pion blanc et un pion noir sur chacune des 12 rangées. Votre adversaire est l'ordinateur et vous ...
Zig écrit sur le tableau noir1 la liste L ci-après de 20 entiers : 9050, 22675, 10585, 17280, 13019, 24696, 10947, 27603, 7099, 10505, 21041, 29088, 31473, 992, 10417, 26939, 14472, 16930, 12291 et ...
D’après un problème proposé par Augustin Genoud Sur une île, les seuls habitants sont des cyclopes qui, comme chacun le sait, n’ont qu’un seul œil. Une malédiction fait que le jour où un cyclope peut ...
Problème proposé par Raymond Bloch Le jeu des suites se joue avec n ≥3 personnes. Chaque personne écrit sa propre suite de nombres réels selon la règle suivante: pour commencer, elle choisit un nombre ...
Un ensemble de n points du plan est tel que 3 points quelconques peuvent être couverts par un disque de rayon 1 au plus. Montrer que tout l'ensemble peut être couvert par un disque de rayon 1 au plus. ...
Au départ un petit cercle (γ) de circonférence égale à l'unité est tangent à un grand cercle fixe (Γ) de circonférence égale à √2. Chacun porte un point rouge : P1 sur (Γ) et Q1 sur (γ) confondus avec ...
Les cases d'un échiquier de dimensions n x n contiennent des entiers strictement positifs pas nécessairement distincts. Les sommes des deux entiers contenus dans tous les dominos, horizontaux ...
Problème proposé par Yves Foussard La clôture d'une enceinte fermée est définie par une suite de segments de droite dont les coordonnées de leurs extrémités sont données. Indiquer une méthode pour ...
Problème proposé par Augustin Genoud Jules dit à Simon et à Paul qu’il a choisi deux entiers naturels supérieurs à 1 et inférieurs à 40. Il leur dit qu’il donne discrètement à Simon la somme de ces ...
Ouroboros, le serpent géant qui se mord la queue, a adopté une configuration qui est l'image parfaite d'une ligne brisée dans le plan constituée d'un nombre pair 2k de segments tels que deux segments ...
Zig et Puce, chacun de son côté, cherchent à retrouver les positions exactes de six points situés sur l'axe des abscisses ≥ 0 à partir d'une liste donnant toutes les distances qui séparent les points ...
Problème proposé par Raymond Bloch Vous jouez avec moi. Je choisis, sans vous le dire, un nombre entier N que vous devez deviner en posant des questions de la forme : « N est-il égal à 10 ? » et je ...
Un échiquier comporte 64 cases en alternance noires et blanches.A l'intérieur de cet échiquier on peut tracer le contour d'un rectangle quelconque qui repose sur les bords des cases puis inverser la ...
On donne dans le plan 2018 points tels que les distances qui séparent ces points pris deux à deux sont toutes distinctes. Pour chacun d'eux, on marque d'une croix rouge le point le plus proche parmi ...
Problème proposé par Michel Lafond On dispose de trois sabliers de "durées" 3, 2, 1 minutes. A la date t = 0 ils sont tous "sable en haut". Dès qu’un sablier vient de se vider, et seulement à ce moment-là, ...
Enigme proposée par Augustin Genoud Diophante est le père de neuf enfants qui disent toujours la vérité, à l’exception de l’un d’entre eux qui ment parfois. Dans leur maison, il y a une salle de jeux ...
Problème proposé par Raymond Bloch Depuis des années, un bambou vénérable grandit chaque nuit de la même longueur. Chaque matin, un jardinier coupe le bambou pour ramener sa longueur à moins de 1 mètre. ...
...la géométrie. Zig demande à Puce de tirer huit traits droits sur une feuille de papier de sorte que deux d'entre eux ne sont jamais parallèles. Pour chaque triangle équilatéral formé par trois de ...
Problème proposé par Dominique Chesneau Un jeu d’éveil est constitué d’un certain nombre de pièces toutes identiques en forme de pavés droits. Les pièces sont rangées dans une boîte elle aussi en forme ...
Problème proposé par Raymond Bloch Zig remplit les 100 cases d’une grille carrée 10 x 10 avec des entiers strictement positifs distincts de sorte que deux entiers appartenant à deux cases adjacentes ...
On trace dans le plan 2019 points rouges et 2019 points jaunes tous distincts de sorte que trois quelconques d'entre eux ne sont jamais alignés. Démontrer qu'il est possible de tracer 2019 segments ...
Problème proposé par Dominique Chesneau Les rues de Manhattan sont complètement envahies par des vers géants que l’on peut schématiser par des lignes brisées suivant les rues et les avenues . La longueur ...
Zig et Puce ont chahuté en classe de mathématiques. Pour les punir, leur professeur qui n’est plus autorisé à leur faire copier cinq cents fois la même ligne, leur donne les deux exercices suivants ...
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E137. © RG
(E. Logique et autoréférences/E1. Suites logiques)
Une suite S de Richard Guy est une collection de fractions telles que le dénominateur de la (k + 1)ième fraction est égal au numérateur de la kième fraction tandis que le numérateur de (k + 1)ième fraction ...
Q1 Plusieurs entiers strictement positifs pas nécessairement distincts de somme S = 20 sont écrits sur une même ligne. L’un quelconque de ces entiers ainsi que toute somme s de deux termes ou ...
Problème proposé par Augustin Genoud Onze pirates tiennent un conciliabule après avoir récupéré lors de leur dernière sortie en mer un butin de 20 pièces d'or. Ils décident d’abord de se numéroter ...
Décrypter chacune des deux multiplications suivantes, pour lesquelles on dispose seulement du squelette des opérations et pour chacune d’elles de la somme des chiffres de ses colonnes.
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Un entier m > 0 est écrit au tableau. L’opération R consiste à le remplacer soit par l’entier 3m + 1 soit par la partie entière par défaut de m/2.Par exemple m = 7, R(7) = 22 ou bien R(7) = 3. ...
Problème proposé par Augustin Genoud Sept cyclistes A,B,C,D,E,F et G s’entraînent sur une route de 126 km de long. Si on divise le parcours en trois portions isométriques, on constate que A, ...
Diophante fixe un nombre premier p > 3 et présente à Zig et à Puce la liste des entiers 1,2,3 ,…p – 1. Zig joue le premier. Au kième tour [1 ≤ k ≤ (p – 1)/2], Zig et Puce choisissent l’un après l’autre ...
Cent cartes numérotées de 1 à 100 sont alignées dans cet ordre sur une même rangée. La permutation de deux cartes adjacentes coute un euro tandis que la permutation de deux cartes avec exactement k ...
Problème proposé par Pierre Jullien Parmi ces quatre énigmes dans lesquelles vous vous débattez avec des seaux d’eau, l’une d’elles a pour réponse : « C’est impossible ». Cherchez cette intruse en ...
Cet étrange polygone a les propriétés suivantes : - ses sommets occupent tous les nœuds d’un quadrillage carré Q, - deux côtés adjacents ne sont jamais sur une même droite, - deux côtés quelconques ...
Par convention on appelle cardinal d’une suite S d’entiers positifs pas nécessairement distincts le nombre s d’entiers distincts de cette suite.
Par exemple S =, s = card(S) = 5 avec les entiers ...
n convives (n ≥ 3) sont assis autour d’une table circulaire. Chacun d’eux choisit un entier relatif qu’il déclare à voix basse à ses deux voisins de gauche et de droite puis annonce à voix haute la ...
Dunabla possède un nombre N (plus de 10) de boîtes qu'il a numérotées dans l'ordre de 1 à N. Il possède également 2021 jetons numérotés dans l'ordre de 1 à 2021. Il décide de déposer les jetons dans ...
Problème proposé par Augustin Genoud Trois mathématiciens A, B et C jouent à un jeu. Un arbitre dispose de sept timbres connus des mathématiciens : quatre rouges et trois verts. Il colle deux timbres ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre NPI veut dire Notation Polonaise Inversée, c'est-à-dire une disposition de nombres (ou de variables) et d'opérateurs binaires (limitées dans cet exercice aux additions, ...
Problème proposé par Raymond Bloch Zig et Puce jouent une bataille de chiffres sur une bande de papier qui contient au départ dix cases consécutives vides. Un tour consiste à écrire un chiffre et un ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre On s’intéresse aux expressions qui sont écrites en Notation Polonaise Inversée (NPI) avec l’ensemble des nombres de 1 à 9 pris dans cet ordre et qui donnent une ...
On dispose d’un paquet de n cartes numérotées de 1 à n et classées par ordre croissant. Une opération consiste à extraire un ensemble de cartes consécutives et sans en changer l’ordre à le réinsérer ...
Zig joue à une bataille de nombres contre son ordinateur. L’automate choisit au hasard un entier positif N et un entier n0 l’un et l’autre à trois chiffres dans l’intervalle [100,499] puis il ...
On écrit sur une même ligne les 63 chiffres suivants : Q1 Prouver qu’on peut insérer entre eux des signes « + », des signes de multiplication « x » et des parenthèses de sorte que l’expression ...
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin Une olympiade mathématique au cours de laquelle six problèmes ont été proposés aux candidats, a rassemblé 301 filles et 301 garçons. Quelle que soit ...
Diophante écrit les entiers de 1 à 16 sur seize cartes puis il distribue quatre cartes à chacun des quatre amis Alice, Bernard, Caroline, Damien. Chacun d’eux voit exclusivement ses propres cartes. ...
Diophante a préparé six piles de 16,9,5,21,3 et 12 macarons et propose à Zig et Puce une séance de dégustation avec les règles suivantes : à tour de rôle chacun d’eux prend un macaron et un seul dans ...
Soit une permutation (P) p1,p2,p3,…,pn des n premiers entiers naturels 1,2,3,….,n. On calcule les sommes cumulées des termes consécutifs de (P) et on obtient la suite (S) de n termes définie par ...
Pétrarque le célèbre poète et érudit florentin était un collectionneur averti de monnaies antiques. C’est ainsi qu’il conçut cette énigme : « Je dispose de cinq bourses de même apparence qui contiennent ...
On écrit la suite S0 des entiers naturels 1,2,3,… 1er tour Partant du nombre 1, on efface un entier sur deux à savoir 2,4,6,….et il reste la suite S1 : 1,3,5,7,9,11,13… 2ème tour Toujours en ...
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin Dans une file de 21 cases, j’inscris les entiers de 0 à,e nombre ck de cases qui les séparent (non compris celles qui contiennent k et k −1) et pour ...
Problème proposé par Raymond Bloch Six coupes contiennent respectivement 1,2,3,4,5,6 billes. Une opération consiste à sélectionner trois coupes et à leur ajouter le même nombre de billes qui peut ...
Problème proposé par Bernard Vignes Diophante lance une pièce de monnaie supposée parfaite. Si « pile » apparaît, Zig est vainqueur et si « face » apparaît, Puce est vainqueur. Au premier lancer, ...
Diophante a placé une pile k allumettes sur la table. A tour de rôle,Zig et Puce doivent séparer une pile existante en deux piles qui n’ont pas le même nombre d’allumettes. Par exemple une pile de ...
Problème proposé par Stan Wagon Zig le magicien et son assistant Puce présentent le tour de magie suivant : Zig sort de la salle. Diophante présente à Puce deux échiquiers 8x8 (n°1 et n°2) sur lesquels ...
Problème proposé par Augustin Genoud Une boîte contient 2023 allumettes. Le jeu consiste à les sortir en respectant la règle suivante du premier au dernier coup : au premier coup, il faut prendre ...
Formant un triumvirat avec Jules César et Pompée, Crassus fait la déclaration : ``Jules dit toujours comme moi, et il y a au moins un menteur parmi nous trois''.
Qui, parmi les triumvirs, ...
Problème proposé par Dominique Chesneau J’ai en main une somme S en bons d’achat dont les valeurs sont des entiers compris entre 1 et 7 et je dois les répartir entre 11 personnes sans qu’aucun ne ...
Problème proposé par Raymond Bloch Une grille 3x4 est « valide » si sont réunies les conditions suivantes : a) elle contient tous les nombres de 1 à 12, un nombre par case. b) les nombres sont en ...
Diophante annonce à Zig et à Puce qu'il a choisi deux entiers non nuls distincts. Il confie le premier à Zig et le deuxième à Puce.Le dialogue suivant s’établit entre Zig et Puce :
Zig : Ton nombre ...
Problème proposé par Raphaël Nanchen On donne une grille de départ composées de 4 cases blanches. Chaque fois qu’on clique sur une case, la couleur de la case change, ainsi que la couleur de celles ...
On considère la suite S dont les deux premiers termes a0 et a1 sont des entiers strictement positifs et le terme général an pour n ≥ 2, est défini par la relation de récurrence : ...
Problème proposé par Pierre Jullien Dans ce ciel étoilé, une seule étoile est différente des autres. Trouver laquelle ...
Problème proposé par Raphaël Nanchen On donne une grille de départ 3 x 3, composées de 9 cases blanches. Chaque fois qu’on clique sur une case, la couleur de la case change, ainsi que la couleur de ...
Diophante écrit l’entier n > 0 au tableau noir. A tour de rôle Zig et Puce multiplient le dernier entier écrit au tableau par n’importe quel entier de son choix allant de 2 à 9. Le premier qui atteint ...
En hiver quand j’attrape un gros rhume, mon nez coule comme une fontaine et je prends la précaution de préparer chaque matin deux paquets de n mouchoirs en papier chacun que je mets respectivement ...
On me donne n points dans le plan, trois d’entre eux n’étant jamais sur la même droite. Je les répartis en 100 sous-ensembles disjoints, en sorte de minimiser le nombre total de triangles que je peux ...
J’ai deux vieilles pièces de monnaie l’une la plus petite en or et l’autre en argent que l’on peut assimiler à deux cylindres droits parfaits. Leurs tranches ont même dimension arrondie au centième ...
Problème proposé par Michel Lafond On lance une balle de rayon 1 cm au hasard perpendiculairement à un grillage plan périodique (supposé infini) dont l’épaisseur du fil est supposée négligeable, et ...
D’après une suggestion de Gilles Josse
Dans un problème de géométrie, on me demande de tracer un triangle ABC quelconque qui n’est ni rectangle ni isocèle. Pour ce faire, je définis un indice I ...
On considère une suite de 2011 nombres entiers positifs tels qu’aucun d’eux n’a un facteur premier supérieur à 28. Montrer que cette suite contient quatre termes dont le produit est une puissance quatrième ...
Problème proposé par Louis Rogliano Dans une urne il y a N boules noires (N > 0) et B boules blanches (B > 0). On utilise l'algorithme suivant jusqu'à ce que l'urne soit vide: 1) S'il reste des ...
Dans cette capitale d’un lointain pays, un tiers des habitants ont la réputation de mentir systématiquement aux questions qui leur sont posées tandis que les autres disent la vérité trois fois sur ...
On trace cinq points du plan tels que les droites qui les relient ne sont ni parallèles ni perpendiculares entre elles.A partir de chacun de ces points, on construit les perpendiculaires aux droites ...
L’assiette de Claudio contient 60 spaghetti longs et fins de calibre n°5. Avant d’y ajouter « ajo, ojo e peperoncino », comme les spaghetti sont brûlants, Claudio décide de prendre au hasard les extrémités ...
Dans ce petit royaume,il y a très longtemps, le roi fort généreux donnait un écu à chacun de ses sujets au moment de Noël. Une année,souhaitant changer sa façon d’opérer, il consulta son chambellan ...
Problème proposé par Michel Lafond
Quel est le nombre de premiers tirages possibles au scrabble français (7 lettres du sac) ? Liens: http://fr.wikipedia.org/wiki/Scrabble http://www.ffsc.fr/index.php ...
Problème proposé par Michel Lafond Six peintres : A,B,C,D,E,F peignent les 100 poteaux d’une clôture rectiligne. A peint les poteaux de a en a à partir du premier ...
Problème proposé par Patrick Gordon Mon arrière-grand-père, mon grand-père et mon père ont tenu un "journal", du 1er janvier 1901 au 31 décembre 1999, sur des feuilles volantes. Elles sont "datées" ...
Je dispose de trois dés identiques. J’appelle S la suite ordonnée de six nombres entiers ? 1 pas nécessairement distincts qui sont inscrits sur les six faces de chaque dé. Je lance simultanément ...
