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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :

Très facile

Facile

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D'autre part, les problèmes se traitent généralement à la main et sont alors repérés par l'icône

 

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E214. Les punitions de Zig et de Puce Imprimer Envoyer
E2. Autoréférences

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Zig et Puce ont chahuté en classe de mathématiques. Pour les punir, leur professeur qui n’est plus autorisé à leur faire copier cinq cents fois la même ligne, leur donne les deux exercices suivants destinés à les occuper pendant un bon moment:

E1 Puce reçoit une première liste de 2019 entiers compris entre 0 et n qu’il doit recopier sur une même colonne puis en face de chaque entier il doit écrire sur une deuxième colonne le nombre de fois où cet entier apparaît dans la première colonne.
Puce constate qu'en lisant la deuxième colonne de bas en haut, il obtient la liste de la première colonne lue de haut en bas. Déterminer la plus petite valeur possible de n.

E2 Zig reçoit une deuxième liste de 2019 entiers pas nécessairement distincts qu’il doit recopier sur une même colonne. Comme l’a fait Puce, il doit écrire en face de chaque entier sur  une deuxième colonne le nombre de fois où cet entier figure dans la première colonne. A l’inverse de Puce, il poursuit sur une troisième colonne en écrivant en face de chaque entier de la deuxième colonne le nombre de fois où il figure dans cette même colonne. Et ainsi de suite...
Zig ne peut s'arrêter que lorsque tous les entiers de la (k − 1)ième colonne et ceux la kième colonne sont ligne à ligne identiques avec k ≥ 3.Il obtient ainsi un tableau Tk de 2019 lignes et k colonnes.

Q1 Démontrer que Zig est certain de s'arrêter après avoir écrit un nombre fini de colonnes.

Q2 Trouver le nombre maximum de colonnes du tableau Tk.
Q3 Décrire une liste de 2019 entiers telle que Tk contient le maximum de colonnes et la dernière colonne contient au moins cinq entiers distincts.



pdfThérèse Eveilleau,pdfStéphane Rézel,pdfJean-Louis Legrand,pdfMarie-Christine Piquet,pdfFrancesco Franzosi,pdfJacques Guitonneau,pdfElie Stinès,pdfRaymond Bloch et Paul Voyer ont résolu tout ou partie du problème.
Dans la question Q3 le tableau Tk peut contenir un maximum de 13 colonnes. Nous avons retenu les solutions qui donnent un nombre de colonnes k < 13 mais décrivent correctement la formation des k colonnes à partir d'une liste fixée à l'avance.

 
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