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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :

Très facile

Facile

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G160. Un gros rhume Imprimer Envoyer
G1. Calcul des probabilités
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En hiver quand j’attrape un gros rhume, mon nez coule comme une fontaine et je prends la précaution de préparer chaque matin deux paquets de n mouchoirs en papier chacun que je mets respectivement dans la poche droite et dans la poche gauche de ma veste. Quand j’ai besoin d’un mouchoir, je choisis au hasard l’une des poches et je prends un mouchoir qui s’y trouve jusqu’au moment où je constate pour la première fois qu’une poche est vide.
Quelle est la plus petite valeur de n qui me donne plus de 3 chances sur quatre de trouver au moins 4 mouchoirs dans la deuxième poche afin d’avoir le temps de remplir à nouveau mes poches ? Calculer pour cette valeur de n, l’espérance mathématique du nombre de mouchoirs qui restent dans la deuxième poche.



L'énoncé a deux interprétations possibles. On déduit qu'une poche est vide :
- ou bien parce qu'on a pris le dernier mouchoir et constaté en même temps que c'était le dernier,
- ou bien parce qu'on cherche à nouveau un mouchoir dans cette poche pour constater qu'elle est vide.
Des solutions ont été données pour chacune de ces interprétations, sachant que pour adopter la deuxième sans ambiguïté il conviendrait de compléter l'énoncé de la manière suivante: je prends un mouchoir qui s’y trouve jusqu’au moment où je constate pour la première fois qu’une poche est vide quand j'y cherche un mouchoir.
Jean Moreau de Saint Martin,Patrick Gordon et Nicolas Sigler ont résolu le problème selon la première interprétation et ont obtenu la valeur n = 47 mouchoirs qui donne plus de 3 chances sur 4 d'avoir au moins 4 mouchoirs dans la deuxième poche avec une espérance mathématique du nombre de mouchoirs dans cette deuxième poche égale à 7,7...
Jean Moreau de Saint Martin à nouveau,David Amar,Pierre Renfer,Francesco Franzosi et Paul Voyer ont résolu le problème selon la deuxième interprétation qui aboutit à une valeur plus élevée de n (81 au lieu de 47) et à une espérance mathématique du nombre de mouchoirs restant dans la deuxième poche de 9,2..
Nota: ce problème est une variante du problème des allumettes de Banach qui a donné lieu à de multiples analyses. On lira avec intérêt l'article de Jean Paul Davalan qui accompagne la page Web consacrée aux simulations de ce problème.


 
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