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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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G161. Un élan de générosité Imprimer Envoyer
G1. Calcul des probabilités
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Dans ce petit royaume,il y a très longtemps, le roi fort généreux donnait un écu à chacun de ses sujets au moment de Noël. Une année,souhaitant changer sa façon d’opérer, il consulta son chambellan qui avait la bosse des maths en lui proposant le scénario suivant : "Je dispose dans mes coffres de dés en or qui ont tous la même forme d’icosidodécaèdres avec 12 faces pentagonales et 20 faces triangulaires numérotées de 1 à 20.Trois cents personnes tirées au hasard dans le royaume sont alignées devant le palais et de mon balcon je lance un certain nombre k dés. La première personne de la file d’attente reçoit les seuls dés dont la face triangulaire n°1 apparaît sur le dessus, me rapporte tous les autres dés puis s’en va.Je lance à nouveau tous les dés restants. La seconde personne emporte les dés dont la face triangulaire n°2 apparaît sur le dessus. Et ainsi de suite les personnes de la file d’attente emportent respectivement les dès dont les faces triangulaires n° 3,4,...20 prises dans cet ordre apparaissent sur le dessus puis à nouveau les n° 1,2,3,...20,etc... La distribution s’arrête au 300ième lancer des dés ou bien avant si tous les dés ont été distribués."
Après avoir précisé que pour éviter le mécontentement des derniers servis, la 300ième  personne de la file devrait avoir au moins 50 chances sur 100 d’emporter au moins un dé, le roi demanda à son chambellan de lui donner une estimation du nombre k. Le chambellan fit ses calculs et lui donna cette estimation.Le roi convaincu qu’en augmentant le nombre de personnes le nombre de dès à distribuer augmenterait grosso modo dans les mêmes proportions, eut un élan de générosité et demanda au chambellan de doubler le nombre de personnes à convoquer. Quelle fut la réponse du chambellan ?
Nota : on suppose que les dés façonnés à la perfection avaient une probabilité de faire apparaître l’une quelconque des faces proportionnelle à l’aire de cette face.
Source  : d’après un problème posé par Gunnar Blom.



David Amar,Jean Moreau de Saint Martin,Patrick Gordon,Paul Voyer et Frédéric Chevallier ont résolu le problème et ont montré qu'après avoir lancé plus de 4000 dés à l'intention de 300 personnes, il lui faudrait en lancer près de 350 000 pour 600 personnes. Le doublement de la file entraîne une multiplication par 87 du nombre de dés. On devine aisément la réponse du chambellan.
Paul Voyer a amélioré le calcul de la probabilité pour qu'un dé qui a la forme d'un icosidodécaèdre tombe sur une face en considérant des pondérations par les angles solides au lieu des aires. Les résultats sont revus légèrement à la baisse (3606 dés au lieu de 4021 avec 300 personnes et 272 429 dés au lieu de 349 715 avec 600 personnes) mais les ordres de grandeur restent les mêmes et ne laissent aucun espoir au roi pour satisfaire 600 de ses sujets....
 
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