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E. Logique - Autoréférences

E5. Enigmes logiques

E599. Un pas en avant,deux pas en arrière

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E599. Un pas en avant,deux pas en arrière

E5. Enigmes logiques

Un entier m > 0 est écrit au tableau. L’opération R consiste à le remplacer soit par l’entier 3m + 1 soit par la partie entière par défaut de m/2.Par exemple m = 7, R(7) = 22 ou bien R(7) = 3.
Q₁ Démontrer que quels que soient les entiers a et b > 0, on peut passer de a à b en un nombre fini d’opérations R.
Q₂ Donner deux suites d’opérations permettant de faire respectivement un pas en avant (2020 à 2021) puis deux pas en arrière (2021 à 2019).

Solution