Ecrire 2015 avec les nombres de 1 à 9, tous utilisés dans l'ordre croissant, une fois chacun, avec seulement les 4 opérations (et des parenthèses ad libitum).
Problème proposé par ...
Dans un ensemble S de 10 réels positifs, montrez qu'on peut toujours en trouver deux x,y tels que x-y est strictement compris entre 0 et (1+x)(1+y)/9.
Problème paru dans La Jaune ...
Soit P(x) un polynôme dont toutes les racines sont réelles et distinctes. Montrez que P'2-PP'' est strictement positif.
Problème paru dans La Jaune et la Rouge de juin-juillet 2019 ...
Trois entiers à 3 chiffres sont en progression arithmétique. Quels sont-ils, sachant qu'ils forment une progression géométrique quand on ajoute 1000 au plus grand.
Problème paru ...
Le caractère illimité de la suite des nombres premiers est une propriété classique. Mais dans divers langages de programmation, le type ``entier'' est limité à 32767=215-1. Avec cette convention, quel ...
Le polynôme P(x) à coefficients entiers vérifie les relations 0<P(0)<2022=P(7)=P(200).
Que vaut P(0) ?
Problème paru dans La Jaune et la Rouge de mars 2022
solution ...
Montrer que la somme de 2 ou plusieurs entiers positifs consécutifs ne peut pas être une puissance de 2.
Problème paru dans La Jaune et la Rouge de janvier 2022
solution ...
La fonction f(x) définie pour x réel positif vérifie
2f(x)+3f(2022/x)=5x.
Quelle est la valeur de f(6) ?
Problème proposé par Olivier Baudel, paru dans La Jaune et la Rouge ...
Je fais le produit des nombres premiers inférieurs à 100. Quel est le chiffre des dizaines du résultat ? Problème paru dans La Jaune et la Rouge de février 2023
...
A chaque entier n, produit des facteurs premiers pi à la puissance ei , on associe la somme f(n) des fractions ei/pi. Résoudre l'équation f(n)=1.
Problème paru dans La Jaune et la Rouge d'avril ...
Quel est l'entier naturel $n$ tel que n2+10n+21 soit multiple de n+2 ?
Problème proposé par Olivier Baudel, paru dans La Jaune et la Rouge de décembre 2023
solution
...
La grille du mini-sudoku n'a que 4 lignes et 4 colonnes, et se divise en 4 carrés de 2x2 cases. Chaque ligne, chaque colonne et chaque carré comporte les 4 symboles 1, 2, 3, 4 (un par case). ...
Dans cette addition, chaque lettre correspond à un chiffre.
MANGER + MANGER = GROSSIR
Problème proposé par Olivier Baudel, paru dans La Jaune et la Rouge de décembre 2019
solution ...
Montrer qu'un triangle quelconque peut être pavé (sans lacune ni recouvrement) par 9 pentagones convexes non dégénérés. Problème paru dans La Jaune et la Rouge de décembre 2011
solution ...
Je dénombre 2010 carrés à l’intérieur d’une grille quadrillée rectangulaire de dimensions a et b, entiers naturels tels que a > b 2. Les nœuds du quadrillage sont confondus avec les points de coordonnées ...
Trouver sur un coin de table, entre la poire et le fromage, tous les entiers n > 0 tels qu’il existe n entiers consécutifs dont la somme des carrés est un nombre premier.
Jean Moreau de ...
Déterminer les nombres entiers naturels n tels que la
quantité n3 + 87n - 287 soit le cube d'un
entier positif.
A1933-les_cubophiles-solution
...
A1929-Les_12_derniers_chiffres-solution
On considère une étoile à treize branches dans laquelle trois droites ou plus ne sont jamais concourantes. D éterminer la somme des angles (marqués en rouge) des treize sommets.
...
Soit l'équation (E) : dans laquelle chacune des lettres a, b, c, d, e, f, g, h et i représente un chiffre différent choisi parmi les neuf chiffres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9 et p est un entier positif. ...
Trouver le plus grand entier naturel N tel que les nombres constitués successivement par ses k premiers chiffres sont divisibles par k, avec k entier variant de 1 au nombre total n de chiffres de ...
Un vieux parchemin où était noté l’emplacement d’un trésor sur une île déserte donnait les renseignements suivants :« Les seuls points de repère sur l’île sont deux arbres A et B et les ruines d’une ...
On considère le triangle ABC dans lequel (C) est le cercle inscrit de centre O et (C1),(C2) et (C3) sont respectivement trois cercles de centres (O1),(O2)et(O3) et de rayons 1, 4 et 9 tangents intérieurement ...
En faisant appel aux suites de Farey (1), donner les fractions dont le numérateur et le dénominateur sont deux entiers inférieurs ou égaux à 2008 et qui donnent respectivement les meilleures approximations ...
On considère la fraction F =101010101 / 110010011
dans laquelle le numérateur et le dénominateur sont deux nombres entiers exprimés en base 2. On calcule ces ...
Les longueurs des côtés d'un
quadrilatère ABCD sont des valeurs entières a, b, c et d toutes distinctes
entre elles. Soit N = a2 + b2 + ...
On considère les deux nombres à 2008 chiffres chacun A =
9 810 810 ......810 (avec le chiffre 9 qui précède 669 ...
Montrer que dans la progression
arithmétique 8, 21, 34, 47,.... il y a une infinité de termes ...
Démontrer qu'il existe une infinité de triplets d'entiers
consécutifs tels que chacun d'eux est la somme de deux carrés d'entiers.
A1931-Une_miniature_avec_trois_entiers_conscutifs-solution ...
J'ai sous les yeux une collection de nombres entiers
naturels tous impairs dont la somme est inférieure à 2008. Quand je les prends
deux par deux, leurs différences sont toutes distinctes. Quel ...
Onze pièces d'apparence identique sont sur une même ligne. Parmi elles, il y en a trois placées côte à côte, de même poids mais plus lourdes que les huit autres. Avec une balance à deux plateaux, ...
Neuf poids numérotés de 1 à 9 selon leur poids exprimés en grammes, sont arrangés sur un cercle dans un ordre ascendant mais ils paraissent tous identiques. Avec une balance à deux plateaux, trouver ...
Comment échanger en un minimum de mouvements les 12 cavaliers noirs et les 12 cavaliers blancs placés sur cet échiquier réduit 5x5 ? Bien entendu dans ce puzzle, il n'y a pas la contrainte d'un ...
Vous êtes parachuté en plein milieu d'une forêt au point A qui est situé à trois kilomètres d'un point B d'où partent deux sentiers rectilignes Bu et Bv représentés ci-après. Bu est orienté dans la ...
Trois amis A,B et C décident de se rendre à la ville la plus proche située à 60 kilomètres de leur village. Ils disposent d'une vieille mais fidèle moto qui peut transporter deux d'entre eux à la ...
1) A et B décident d’aller à la piscine située à 10 kilomètres de leur domicile. Ils disposent d’une seule bicyclette qui peut rouler à 20 km/h.A pied leur allure est de 5 km/h. ...
Ce problème est une n-ième variante de traversée avec un bateau qui contient un nombre limité de places et des passagers qui ont du mal à cohabiter. Cette fois-ci, il y a une île au milieu du lac. ...
Quatre amis doivent traverser une passerelle qui est en pleine obscurité. Il doivent impérativement s'éclairer mais ils n'ont qu'une seule lampe de poche dont la pile a une durée de vie de 17 minutes. ...
Pour franchir une rivière,3 missionnaires et 3 cannibales doivent utiliser une barque qui ne peut supporter plus de 2 personnes. Si à tout moment les cannibales sont plus nombreux que les missionnaires ...
Cinq personnes A, B, C, D et Hypathie et cinq chiens a, b, c, d et h qui appartiennent respectivement à leurs maîtres dotés des mêmes lettres doivent traverser une rivière. Un bateau est à leur disposition ...
Zéphyrin le lapin est au milieu d'un immense pré de serpolet. Partant d'un point origine O, il fait des bonds appelés -bonds de 1 mètre de longueur selon la direction avec .Il détermine en choisissant ...
Comment déterminer de façon simple l'aire contenue à l'intérieur du polygone A B C D E F G H I J K L M dont les sommets sont tous placés en des points de coordonnées entières ?
H116-solution ...
En partant du point de départ D, il s'agit de rejoindre l'arrivée au point A après avoir ramassé toutes les pastilles colorées en rouge et en bleu. Les règles sont les suivantes : - à partir d'un ...
Dans un lotissement rectangulaire ont été construits 7 bâtiments A,B,C,D,E,F dont les emprises sont représentés dans la figure ci-après mais l'architecte n'a pas pensé aux alimentations en câbles optiques ...
Q1: Combien y a-t-il d'arêtes sur un icosaèdre régulier dit de Platon à faces équilatérales ? Q2: On tronque l'icosaèdre de Platon au tiers de chaque arête. Quels sont les caractéristiques (nombre ...
Un nombre réel qui est égal à la somme des racines carrées
de deux ...
Démontrer que si p et p2 + 2 sont des nombres premiers, alors p8 + 2 est également un nombre premier.
Ce problème facile,une fois n'est pas coutume,a reçu de très nombreuses réponses ...
Quel est le dernier chiffre de la somme 11 + 22 + 33
+ ...+ nn + ... + 20102010 ?
Ce millésime 2010 est un beau cru car il a généré pour dernier chiffre
de la méga somme le chiffre "magique" ...
Zig
a l’habitude de pratiquer les gorges de la Sioule aussi bien en canoë
qu’à la nage entre le méandre de Queuille et le viaduc des Fades. Il met le même temps pour faire cinq allers et retours ...
Un marchand d’huile doit livrer une quantité d’huile comprise entre un et douze litres mais il ne la connaît pas à l’avance. Pour ce faire, il dispose de trois récipients vides de 7,8 et 9 litres ainsi ...
Soit un parallélogramme ABCD dont les côtés AB et BC sont respectivement égaux à 16 et 14. On trace le cercle dont le centre O est situé sur la bissectrice de l'angle BAD et ...
Deux collégiens Yann et Zoé jouent sur une aire de jeux qui a la forme d'un carré ABCD de 20 mètres de côté. Pour éviter les chamailleries, Diophante les sépare en demandant à Zoé de rester à ...
Problème proposé par Dominique Roux (Q1) et par Pierre Jullien (Q2)
Q1- En désignant par a,b,c les longueurs des côtés d'un triangle rectangle d'hypoténuse c et par d le diamètre ...
Problème proposé par Dominique Roux
Une balançoire est faite d'une planche AB qui repose sur
l'arête d'un socle prismatique dont la coupe par un plan vertical ...
Les deux cercles dont les diamètres sont les côtés AB et AC d’un triangle ABC se coupent en un deuxième point D autre que A. Une droite quelconque passant par D coupe respectivement ces deux cercles ...
Dans une région, les trois moyens de transport publics :avion, train et bus sont utilisés pour réaliser les liaisons entre les principales villes. Il apparaît que : - deux villes sont ...
Est-il possible d'effectuer un périple en avion qui part de Paris et passe par vingt capitales européennes sans visiter deux fois la même ville ? Les seules liaisons possibles sont celles qui ...
Combien de points d'intersection ont les diagonales d'un polygone convexe à n côtés sachant que trois diagonales quelconques ne sont jamais concourantes? G213-solution
Trouver le produit des longueurs de tous les côtés et de toutes les diagonales d'un polygone régulier à n côtés inscrit dans un cercle de rayon 1.
G212-solution
Claude Cardot, ingénieur ...
Tracer toutes les diagonales d'un polygone convexe à n côtés ? On suppose que trois diagonales quelconques ne passent jamais par le même point. Quel est le nombre total de triangles ainsi formés ? ...
Sur un cercle, on place les 2n sommets d'un polygone régulier dont n sont coloriés en rouge et n coloriés en bleu dans un ordre quelconque. Montrer qu'il existe un arc de cercle qui contient p sommets ...
Vous êtes dans la forêt de Fontainebleau équipé(e) d'un sac à dos bien rempli et muni(e) d'une boussole d'une très grande précision, d'un dé à 6 faces supposé parfait ?. Pour simplifier, on considère ...
La souris Bidule a pris ses quartiers dans une maison qui comporte huit pièces entourant un vestibule central. Les portes de communication entre toutes ces pièces sont représentées ci-après. Le 1 ...
Deux variables aléatoires X et Y indépendantes entre elles suivent la même loi de probabilité caractérisée par :
1) l'espérance mathématique de ...
On dit que la variable aléatoire X à valeurs dans N* est probablement supérieure à la variable aléatoire Y également à valeurs dans N* si Pr > .
Est-il possible de fabriquer 4 dés à 6 faces ...
Treize convives sont invités à s'asseoir autour d'une table circulaire. Chacun d'eux dispose d'un numéro qui précise la place qu'il doit prendre. Mais au lieu de consulter les numéros affichés sur ...
Le petit-fils de Diophante joue avec quinze calots : un couleur rubis, deux couleur saphir, trois couleur émeraude, quatre couleur onyx et cinq couleur améthyste. Aidez le à répartir ces calots ...
Vous avez un bâton que vous coupez en deux morceaux avec le point de section choisi au hasard entre les deux extrémités du bâton. On désigne par A le morceau le plus long et par B le morceau ...
Vous êtes au casino et le banquier présente devant vous quatre cartes les unes à côté des autres, faces cachées qui sont les quatre dames Pique, C?ur, Carreau, Trèfle. Pour une mise de départ de 10?, ...
Question n°1
Trouver la probabilité pour que deux reines placées aléatoirement sur un échiquier 8x8 s'attaquent mutuellement. Une reine contrôle la colonne, la rangée et les deux diagonales qui partent ...
La société Zéro-Wikend qui opère dans un pays qui ne connaît pas encore le code du Travail, a proposé à ses employés qu'en contrepartie de la suppression des jours du samedi et dimanche comme jours fériés, ...
Trois points sont choisis au hasard sur la circonférence d'un cercle de rayon 1 selon une loi de distribution uniforme. Quelle est l'espérance mathématique de l'aire du triangle dont les trois points ...
On choisit deux points au hasard sur
l'intervalle [0,1] selon une loi de distribution uniforme. Cela donne
trois intervalles de longueurs a, b e c.
Quelle est la probabilité pour qu'avec ces ...
Les entiers naturels 1,2,....n sont placés sur la circonférence d'un cercle de telle sorte que la somme de deux entiers adjacents est divisible par l'entier qui vient immédiatement après eux (dans ...
Le coffre-fort de la banque Assurétourisk est protégé par un système de cartes magnétiques. Chacune d’elles comporte tout ou partie d’un code à N caractères nécessaire pour l’ouverture du coffre. Seul ...
Nyctophile le veilleur de nuit a deux trousseaux de clés. Son trousseau personnel a cinq clés et son trousseau professionnel comporte 2007 clés (il est vrai qu'il travaille dans un immense caravansérail ...
Vous souhaitez faire cuire deux œufs mollets dont la durée de cuisson idéale est de 3 minutes 45 secondes dès que l’eau se met à bouillir. Vous ne disposez pas de sablier mais votre voisin vous prête ...
Diophante revient du Bourbonnais où les poules ont la réputation de pondre des œufs qui ont la coquille si dure que, paraît-il, certains œufs lancés du 2ème étage de la Tour Eiffel restent intacts. ...
1) Diophante et Hippolyte ont respectivement un jeu de 52 cartes et un jeu de 53 cartes (52 + joker) toutes faces cachées. Ils souhaitent les remettre à l'endroit toutes faces visibles en s'imposant ...
Vous êtes au sommet d'un immeuble de 40 mètres de hauteur avec une corde de 30 mètres de long et une paire de gros ciseaux. Vous souhaitez ...
Vous souhaitez envoyer un objet précieux à votre lointaine dulcinée et le seul moyen est le colis postal. La Poste met à votre disposition différents modèles de boites hermétiques qui peuvent se verrouiller ...
Trois mathématiciens A, B et C jouent à un jeu. Un arbitre dispose de huit timbres : 4 rouges et 4 verts. Il colle 2 timbres au hasard sur le front de chacun des mathématiciens et garde ...
n considère treize points dans le plan que l'on relie par la ligne brisée fermée . Est-il possible de tracer une ligne droite qui traverse les 13 segments c'est à dire qui passe entre les points ...
C’est une variante du problème très connu et maintes fois repris par les revues de récréations mathématiques et logiques des « 40 femmes infidèles » ou des « 40 cocus de Bagdad » dans lequel le 40ème ...
Diophante et Hippolyte sont devant l’expression suivante : ((((((((( ? Z ?) Z ?) Z ?) Z ?) Z ?) Z ?) Z ?) Z ?) Z ?) Chaque point d’interrogation ? désigne l’un quelconque des dix chiffres de 0 à 9, ...
Diophante réunit Hippolyte, Théophile et Hippatie et leur montre cinq dossards, trois blancs et deux noirs. Puis il leur dit : » Je vais attacher un dossard sur le dos de chacun d’entre vous, sans ...
Diophante place des dossards de couleur blanche ou noire dans le dos de douze de ses étudiants A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L. Chacun d’eux ignore la couleur du dossard qu’il porte mais est capable ...
Dans cette variante du jeu de Nim, trois joueurs prennent à tour de rôle des jetons d'un seul et même tas, le perdant étant celui qui ramasse le dernier jeton ou est empêché de jouer. A chaque tour, ...
Dans cette variante du jeu de Nim, deux joueurs prennent à tour de rôle des jetons d'un seul et même tas, le vainqueur étant celui qui ramasse le dernier jeton ou empêche son adversaire de pouvoir jouer ...
Diophante et Hippolyte ont chacun deux familles nombreuses de trois garçons et de trois filles. L'âge de chaque enfant est arrondi à l'entier le plus proche. Diophante : « La somme des âges ...
Diophante et son ami Hippolyte ont cet étrange dialogue : - Trouve un entier N à 6 chiffres dont 5 chiffres sont pairs et dont la racine carrée est constituée uniquement de chiffres pairs. - ...
Diophante annonce qu'il a choisi deux nombres entre 2 et 21. Il donne la somme à Sébastien et le produit à Pierre. Quels sont ces nombres, demande-t-il ? Sébastien : Je ne peux pas les déterminer. ...
Diophante tend à Hippolyte un papier sur lequel figure un nombre qui est le produit de deux entiers et à Théophile un autre papier sur lequel figure la somme de ces deux entiers. Il précise que les deux ...
Il ne s’agit pas de Robinson Crusoë mais du mathématicien américain Raphaël Robinson qui dans les années 1970 a découvert une formule pour résoudre les problèmes des phrases dites autoréférentes ou ...
Trouver la ou les règles qui permettent de générer les séquences ci-après :
Séquence n°1
2,3,3,5,10,13,39,43,172,177,?
Indication : combiner + et *
Séquence n°2
0, 510, ...
On demande la couleur de 2008 dans les deux cas suivants :
- Chacun
des entiers naturels est colorié en rouge ou en jaune sachant que 8 est
le plus petit entier de couleur jaune. La somme ...
497.
E107. Eubani
(E. Logique et autoréférences/E1. Suites logiques)
Quels sont les trois nombres qui prolongent logiquement la séquence ci-après : 1, 3, 5, 6, 8, 10, 18, 20 ,23, 25, 26, 28, ?, ?, ? Nota : ne pas oublier de bien lire le titre même s'il paraît barbare ...
Quel est le nombre qui se substitue au ? dans la séquence suivante : 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 22, 24, ? ,100, 121, 10000 E106-solution
Dans le problème E104, la séquence S1 = 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11,.. est définie par Ent [ ] ou Ent [ ] désigne la partie entière par défaut du réél pour n=1,2,3,4,?..
Que peut-on dire de la séquence : ...
Quel est le nombre qui suit chacune des séquences ci-après ? .S1 = 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11,... .S2 = 1, 3, 5, 6, 8, 10, 12, .. .S3 = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 25, 28,... .S4 = 2, 5, 8, 10, 13, ...
