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Plus de 2000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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E532. Des mathématiciens un peu timbrés Imprimer Envoyer
E5. Enigmes logiques
calculator_edit.png  

 

Trois mathématiciens A, B et C jouent à un jeu. Un arbitre dispose de huit timbres : 4 rouges et 4 verts. Il colle 2 timbres au hasard sur le front de chacun des mathématiciens et garde les deux timbres restants dans sa poche. Chaque mathématicien est incapable de voir les timbres qu'il a sur le front, pas plus qu'il ne connaît les timbres gardés par l'arbitre. En revanche chacun voit les timbres collés sur le front de ses comparses. L'arbitre demande tour à tour à chacun s'il est capable de deviner les timbres qu'il a sur le front. Voici leur réponse dans l'ordre:
A : Non,
B : Non,
C : Non,
A : Non

Que vont répondre B puis C maintenant ?

 



Sources :

http://mathenjeans.free.fr/amej/edition/9806preuves/98preuve.html problème n°15 et http://carredas.free.fr/

 

1°) Commencons par montrer, grâce a un raisonnement par l'absurde, que B ne peut pas avoir deux timbres identiques.

 

Supposons donc que B a deux timbres de la même couleur, par exemple deux timbres rouges: RR. Si C avait aussi RR, alors A en déduirait immédiatement qu'il a VV. Inversement si A avait aussi RR, c'est C qui déduirait immédiatement qu'il a VV.

 

Donc A et C ont au moins un timbre V chacun. Mais ils ne peuvent pas avoir tous les deux VV, car sinon B saurait tout de suite qu'il a RR.

 

Il reste 3 cas à considérer:

 

A=VV, B=RR, C=RV

 

A=RV, B=RR, C=VV

 

A=RV, B=RR, C=RV

 

Le premier cas est impossible car alors C, ayant entendu A et B dire non, saurait qu'il n'a ni RR (A aurait dit Oui), ni VV (B aurait dit Oui), et C doit donc dire Oui.

 

De la même maniere, les deux autres cas sont impossibles car c'est A qui, ayant entendu B et C répondre Non, devrait répondre Oui.

 

2°) Bien évidemment, si B avait VV le raisonnement serait le même pour expliquer que l'on arrive dans tous les cas à une contradiction.

 

3°) Tous les cas ont été éliminés, par conséquent B a forcement deux timbres differents, RV. Puisque nous, qui ne voyons pas les timbres, avons su le prouver, à plus forte raison B qui les voit ne peut que le constater. La deuxième réponse de B est donc: OUI !

 

4°) Sachant que B=RV, il y a 7 cas possibles:

 

1. A=RR, B=RV, C=VV

 

2. A=RR, B=RV, C=RV

 

3. A=VV, B=RV, C=RR

 

4. A=VV, B=RV, C=RV

 

5. A=RV, B=RV, C=RR

 

6. A=RV, B=RV, C=VV

 

7. A=RV, B=RV, C=RV

 

Or C ne peut pas distinguer les cas 1 et 2, ni les cas 3 et 4, ni les cas 5, 6 et 7. Il ne peut donc répondre que NON a la dernière question. Par ailleurs, si on continuait à interroger les trois personnes, chacun resterait sur sa position: A et C ne peuvent ni l'un ni l'autre savoir ce qu'il a sur le front, alors que B le sait.

 

En résumé, B répondra "OUI j'ai un timbre rouge et un timbre vert", et C répondra "NON je n'en sais toujours rien".



 

 
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