Problèmes par thèmes E. Logique - Autoréférences E5. Enigmes logiques E532. Des mathématiciens un peu timbrés
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| E532. Des mathématiciens un peu timbrés |
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| E5. Enigmes logiques |
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Trois mathématiciens A, B et C jouent à un jeu. Un arbitre dispose de huit timbres : 4 rouges et 4 verts. Il colle 2 timbres au hasard sur le front de chacun des mathématiciens et garde les deux timbres restants dans sa poche. Chaque mathématicien est incapable de voir les timbres qu'il a sur le front, pas plus qu'il ne connaît les timbres gardés par l'arbitre. En revanche chacun voit les timbres collés sur le front de ses comparses. L'arbitre demande tour à tour à chacun s'il est capable de deviner les timbres qu'il a sur le front. Voici leur réponse dans l'ordre: Que vont répondre B puis C maintenant ?
Solution proposée par  Augustin Genoud
Sources : http://mathenjeans.free.fr/amej/edition/9806preuves/98preuve.html problème n°15 et http://carredas.free.fr/
1°) Commencons par montrer, grâce a un raisonnement par l'absurde, que B ne peut pas avoir deux timbres identiques.
Supposons donc que B a deux timbres de la même couleur, par exemple deux timbres rouges: RR. Si C avait aussi RR, alors A en déduirait immédiatement qu'il a VV. Inversement si A avait aussi RR, c'est C qui déduirait immédiatement qu'il a VV.
Donc A et C ont au moins un timbre V chacun. Mais ils ne peuvent pas avoir tous les deux VV, car sinon B saurait tout de suite qu'il a RR.
Il reste 3 cas à considérer:
A=VV, B=RR, C=RV
A=RV, B=RR, C=VV
A=RV, B=RR, C=RV
Le premier cas est impossible car alors C, ayant entendu A et B dire non, saurait qu'il n'a ni RR (A aurait dit Oui), ni VV (B aurait dit Oui), et C doit donc dire Oui.
De la même maniere, les deux autres cas sont impossibles car c'est A qui, ayant entendu B et C répondre Non, devrait répondre Oui.
2°) Bien évidemment, si B avait VV le raisonnement serait le même pour expliquer que l'on arrive dans tous les cas à une contradiction.
3°) Tous les cas ont été éliminés, par conséquent B a forcement deux timbres differents, RV. Puisque nous, qui ne voyons pas les timbres, avons su le prouver, à plus forte raison B qui les voit ne peut que le constater. La deuxième réponse de B est donc: OUI !
4°) Sachant que B=RV, il y a 7 cas possibles:
1. A=RR, B=RV, C=VV
2. A=RR, B=RV, C=RV
3. A=VV, B=RV, C=RR
4. A=VV, B=RV, C=RV
5. A=RV, B=RV, C=RR
6. A=RV, B=RV, C=VV
7. A=RV, B=RV, C=RV
Or C ne peut pas distinguer les cas 1 et 2, ni les cas 3 et 4, ni les cas 5, 6 et 7. Il ne peut donc répondre que NON a la dernière question. Par ailleurs, si on continuait à interroger les trois personnes, chacun resterait sur sa position: A et C ne peuvent ni l'un ni l'autre savoir ce qu'il a sur le front, alors que B le sait.
En résumé, B répondra "OUI j'ai un timbre rouge et un timbre vert", et C répondra "NON je n'en sais toujours rien".
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