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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

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G101. Deux points au hasard et un triangle Imprimer Envoyer
G1. Calcul des probabilités
calculator_edit.png  

On choisit deux points au hasard sur l'intervalle [0,1] selon une loi de distribution uniforme. Cela donne trois intervalles de longueurs a, b e c.


  1. Quelle est la probabilité pour qu'avec ces trois intervalles on puisse construire un triangle de côtés a, b et c
  2. Si un tel triangle existe, quelle est la probabilité pour qu'il soit obtus ?


Question n°1

 

Sur l'intervalle [0,1] des nombres réels, on choisit au hasard deux points P et Q d'abscisses . Soit les deux variables aléatoires X = min(x,y) et Y=max(x,y) qui sont respectivement la plus petite et la plus grande de ces deux abscisses.

 


La loi de probabilité du couple (X,Y) est définie par la densité de probabilité f(x,y) qui est uniforme et égale à 2 sur le triangle rectangle isocèle OAB (OA=AB=1). En effet f(x,y)dxdy = Pr(x<X x+dx et y<Y y+dy) = Pr(x< x+dx et y< y+dy) + Pr(x< x+dx et y< y+dy) = 2dxdy.

 


Les trois intervalles déterminés par le choix des deux points sont alors les trois variables X,Y-X et 1-Y. Ces trois intervalles permettent de construire un triangle dont les côtés a,b, et c sont égaux à ces intervalles si et seulement si : X 1/2, Y et Y-X 1/2. X et Y doivent donc se trouver à l'intérieur du triangle rectangle isocèle PQR représenté ci-dessus hachuré en jaune. La probabilité pour que l'on puisse construire un triangle est alors définie par =1/4

 

Question n°2

Le triangle (a,b,c) est obtus si et seulement si : ou bien ou bien

 

Si on considère la première inéquation, elle est équivalente à Y>1/(2*(1-X)), la deuxième à et la dernière à . A l'intérieur du triangle PQR, ces inéquations délimitent trois « lentilles » adossées respectivement aux côtés PR, PQ et QR comme le fait apparaître le graphe ci-après :

 

R

 

 


P Q

 

Les courbes qui délimitent les bords des lentilles à l'intérieur du triangle PQR sont des arcs d'hyperbole.

 

La probabilité pour que le triangle soit obtus est donc définie par =

 

L'aire de la 1 ère lentille est égale à aire du trapèze OPRS - =3/8 ? Log(2)/2. L'aire de la 2 ème lentille est égale à et aire OPQS=1/4, ce qui donne après calcul de l'intégrale simple une surface égale à 3/8 ? Log(2)/2 comme celle de la 1 ère lentille. Ce résultat était attendu car les 3 intervalles X, Y-X et 1-Y obéissent à la même loi de probabilités et sont interchangeables. Il est facile de vérifier que la 3 ème lentille symétrique de la 2 ème par rapport à la droite y+x=1, a aussi la même aire.

 

L'aire totale des 3 lentilles est donc égale à 9/8 ? 3*Log(2)/2 et la probabilité demandée s'établit à 9/2 ? 6*Log(2) = 9/2 ? Log(64) = 0,341169?.


 
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