Problèmes par thèmes G. Probabilités G1. Calcul des probabilités G123. La souris Bidule dans le vestibule
Avertissement
Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :
Très facile
Facile
Moyen
Difficile
Très difficile
Variable
figure seule.
Les figures et les graphes ont été réalisés grâce au logiciel Declic.
| G123. La souris Bidule dans le vestibule |
 |
 |
| G1. Calcul des probabilités |
|
La souris Bidule a pris ses quartiers dans une maison qui comporte huit pièces entourant un vestibule central. Les portes de communication entre toutes ces pièces sont représentées ci-après. Le 1 er mars 2007 à 0 heure , Bidule est dans le vestibule et toutes les cinq minutes, elle change de pièce en choisissant une porte au hasard. Quelle est très exactement la probabilité pour qu'elle soit à nouveau dans le vestibule le 31 mars 2007 à 23h55mn ? le 1er avril 2007 à 0h ?
Nota : il n'y a pas de Raminagrobis dans la maison. Paul Voyer, Daniel Collignon, Michel Boulant, Jean Moreau de Saint Martin, Claude Morin, Pierre Henri Palmade et Fabien Gigante ont résolu le problème.
Paul Voyer et Pierre Henri Palmade ont même pensé au passage à l'heure d'été le 25 mars dernier !
Solution de Paul Voyer
Colorions comme un damier.
A chaque changement (chaque 5 mn), Bidule change de couleur de case.
Le 31 mars 2007 à 23h55mn, elle est sur une case jaune.
La probabilité d'être dans le vestibule est zéro.
Dans la suite, on ne considère plus que les périodes de 10 minutes, les multiples impairs de 5 correspondant à Bidule dans une case jaune.
Définissons la matrice colonne des probabilités :
Vn - d'être dans le vestibule,
Cn - d'être dans un coin.
Après deux mouvements (10 mn), la nouvelle matrice colonne est :
Les vecteurs propres sont
La matrice s'écrit :
D'où l'on tire Vn après n fois 10 mn.
Vn =
Vn = .5+4.9251160033988031195324110766805e-2128
Ajouter aux favoris
Bookmarker
Envoyer par mail
Vu: 1695 Commentaires (0)
 Ecrivez un commentaire
|
= 
* 
et 
.
= 
= 
* 
* 
* 
(départ)
= 
* 
* 
= 
* 
(1+ 
), avec n = 6*(31*24-1) fois 10 mn (passage à l'heure d'été) = 4458.
Flux RSS pour les commentaires
