Problème proposé par Jacques Boudier Ce problème traite de douze entiers positifs non nuls tous différents les uns des autres. Six d’entre eux : x1, x2, x3, x4, x5, x6 sont connus à savoir ...
Sur l’ensemble des rationnels Q+et Q- , on considère les 16 équations . Dans chacune d’elles, l’expression du membre de gauche contient quatre parties entières qui sont imbriquées les unes dans les ...
Dans ce lot de 9 pièces apparemment toutes identiques on ne sait pas dire s’il contient oui ou non deux pièces fausses dont le poids total est le même que celui de deux bonnes pièces. En quatre pesées ...
Zig écrit à l’encre rouge les entiers naturels 1,2,3,…dans l’ordre croissant aux points de coordonnées entières du quadrant ci-dessus de gauche de coordonnées positives ou nulles selon un chemin ...
Q1 Déterminer les plus petits nombres entiers positifs (quand ils existent) dont les cubes se terminent respectivement par x fois le même chiffre x, pour x variant de 1 à 9. Q2 Recenser les chiffres ...
Problème proposé par Bernard Vignes Déterminer tous les quadrilatères inscriptibles dont les longueurs des côtés exprimées en cm sont des entiers et dont l’aire exprimée en cm² est égale au périmètre ...
Q1 Soit un triplet (a,b,c) d’entiers strictement positifs. Démontrer qu’il existe une infinité de ces triplets tels que la somme a² + b² + c² + 1 est un multiple m1 de leur produit a.b.c. Démontrer ...
Problème proposé par Kaustuv Sengupta
Déterminer toutes les paires possibles (x, y) d'entiers positifs qui satisfont l’équation 2x – 3y =13
Nota: le premier épisode se trouve dans la rubrique ...
Déterminer un entier positif qui a la propriété suivante : si on ajoute un chiffre quelconque de 0 à 9 à la fin de sa représentation décimale, alors l’entier ainsi obtenu est tel qu’il existe une chaîne ...
Problème proposé par Kaustuv Sengupta
Existe-t-il un couple d'entiers (n > 0, x > 1 ) tels que est un carré parfait ?
Maxime Cuenot,Marc Humery, Bruno Langlois, ...
Sur l’ensemble Q des rationnels, résoudre le système des deux équations d’inconnues x et y : ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Prouver que quel que soit n entier > 0, l’entier (n + 1)5 – n5 ainsi que ses facteurs premiers, s’il est un nombre composé, sont tous congrus à 1 modulo 10. ...
Problème proposé par Kaustuv Sengupta La durée de vie maximale d'un habitant de la planète Paradis Vert est de 950 ans (selon les normes terrestres).Les âges des membres d'une famille de quatre personnes ...
Déterminer dans chacun des cas suivants le plus grand entier k tel que : 1) k divise n13 – n pour tout entier n positif, 2) k divise n17 – n pour tout entier n positif, 3) k divise n37 – n pour tout ...
On considère les graphes de quatre polynômes distincts p(x),q(x),r(x),s(x) à variables réelles passant par l’origine O et on étudie les positions respectives de ces graphes vus du bas vers le haut ...
Pour l’indice i prenant respectivement les cinq valeurs 1,2,3,4,5 trouvez tous les couples d’entiers strictement positifs ai et bi qui satisfont à la fois les deux relations suivantes quel que soit ...
Je dispose de deux récipients aux trois-quarts remplis, le premier d’un litre d’eau pure et le second d’un litre d’alcool pur. Je verse une petite quantité q de liquide du premier dans le second puis ...
Soit la matrice 3 x 3 :
Pour tout vecteur dont les composantes x, y, z sont des entiers, soit le vecteur V1 = D(V0) = │A.V0│dans lequel on prend les valeurs absolues de chacune des trois composantes ...
Problème proposé par Daniel Collignon Si l’on souhaite acheter quelque chose dont le prix est un nombre entier d’euros strictement inférieur à 100, on peut payer avec les billets et les pièces de 1, ...
L'écriture binaire de ce carré parfait impair a 3 chiffres 1, et il y a un zéro de plus entre les deux chiffres 1 de gauche qu'entre les deux chiffres 1 de droite. Quel est ce carré ?
Problème paru ...
121.
A5939. Puissance 8
(A. Arithmetique et algèbre/A5. Carrés, cubes, puissances d'ordre n)
Problème proposé par Daniel Collignon Dans une grille carrée n x n s'appuyant sur le réseau des points entiers du plan, on définit un alignement de k ≥ 2 points comme un segment dont chaque extrémité ...
On trace les cercles exinscrits (Γb) et (Γc) du triangle dans les angles en B et en C puis leurs symétriques (Γ’b) et (Γ’c) respectivement par rapport au milieu de AC et au milieu de AB. Démontrer ...
Parmi cinq pièces de même apparence, une est plus lourde et une autre est plus légère que les trois autres qui sont bonnes. On pose s1= somme des poids de deux bonnes pièces et s2 = somme ...
On dispose de trois cartes.Sur chacune d’elles, figure une colonne de trois nombres réels positifs ou nuls dont la somme est égale à 2. Montrer que l'on peut mettre ces cartes dans un certain ordre ...
On définit la suite des entiers un par son premier terme u1 = 1 et la formule de récurrence dans laquelle [...] désigne la partie entière par défaut. Dans un deuxième temps, on détermine la suite ...
Zig et Puce disposent d’une grille carrée 12x12 dont les cases sont remplies avec les entiers naturels de 1 à 144. Le premier joueur barre un nombre pair puis chaque joueur barre un nombre non encore ...
Zig choisit un entier naturel N 2011. Pour le trouver, Puce choisit deux entiers positifs x et y 2011 et pose des questions de la forme : quel est le PGCD des entiers x et N + y ? Zig lui répond par ...
Prouver que si l’on choisit neuf points dans le plan tels que trois d’entre eux ne sont jamais sur la même droite, cinq de ces points forment un polygone convexe.
Fabien Gigante a résolu le problème. ...
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin On écrit un nombre N à 10 chiffres qui ne comportent pas 10 fois le même chiffre (ex : 3 333 333 333) ou qui n’ont pas des chiffres tous différents ...
Zig trace 2n ( n>1) points qui partagent la circonférence d’un cercle en 2n arcs de même dimension.Il relie entre eux tous ces points par paires de telle sorte que chacun d’eux est l’extrémité d’une ...
Je trace 2011 triangles (non dégénérés) dont je colorie les côtés en bleu,rouge et vert. Je mesure ensuite la longueur des côtés de tous ces triangles que je classe par ordre croissant selon leur couleur ...
On considère la suite d’entiers positifs telle que a1 = 1,a2 = 2 et le terme général an pour n > 2 est le plus petit entier naturel qui n’est pas dans la séquence et qui a un diviseur commun supérieur ...
Problème proposé par Michel Lafond Zig et Puce jouent au jeu suivant : Ils ont un collier de n perles (n 2),chacune ayant une valeur entière positive (en euros). Le premier joueur Zig coupe le collier ...
Problème proposé par Michel Lafond
On dispose de deux opérations : - Opération C : élévation au cube - Opération R : partie entière de la racine carrée. Il s’agit en un minimum d’opérations de ...
Cinq jarres vides de 10 litres de capacité chacune sont placées aux coins d’une cour pentagonale. Zig dispose d’un récipient de 5 litres et il en répartit le contenu comme bon lui semble dans les cinq ...
Pour jouer à la marelle des matheux, on trace 32 cases numérotées de 1 à 32 et le ciel en forme de demi-cercle qui jouxte la case n°1. Un certain nombre de billes sont placées dans les cases, pas nécessairement ...
Problème proposé par Jean Drabbe On attribue un nombre réel à chacun des points du plan de manière telle que pour tout triangle, le réel associé au centre du cercle inscrit soit la moyenne arithmétique ...
Ragdalam et madame Yamilah réalisent un nouveau tour de magie* devant un large public. Un cercle est tracé sur le tableau noir. Plusieurs spectateurs viennent à tour de rôle marquer des points sur ...
Problème proposé par Michel Lafond Trois boîtes contiennent au départ [0, 0, 3n] boules [n entier positif]. Il s’agit d’arriver à la répartition [n, n, n] en n étapes, sachant qu’à l’étape numéro ...
Problème proposé par Christian Romon Je dispose d'une guirlande de 2n (n>0) lampes en forme de boucle refermée sur elle-même. En position initiale un certain nombre d'entre elles ont été allumées ...
Problème proposé par Michel Lafond Montrer qu’on peut relier deux à deux 11 points distincts du plan en limitant à 100 le nombre d’intersections des 55 arcs. Nota : Chaque point d'intersection est ...
Diophante fixe un entier positif n. Zig choisit n nombres entiers positifs pas nécessairement distincts et écrit toutes les sommes des termes pris 2 à 2 qu’il montre à Puce. Puce gagne le manche s’il ...
Q?: On dispose d’un tas appelé A de 2013 cartes numérotées dans cet ordre de 1 à 2013.On fait passer la carte n°1 qui est sur le dessus en dernière position puis on met la carte n°2 sur un deuxième ...
Problème proposé par Patrick Gordon Un peintre doit faire passer des panneaux de polystyrène de 3m × 2,45m × 1cm d'épaisseur par une porte de 1,5m × 2m.Combien peut-il en faire passer simultanément ...
Des tas de sable sont alignés les uns à la suite des autres et portent les numéros 1,2,3,....,n,.... Le premier tas est vide,le second contient deux grains de sable et le troisième en contient trois. ...
Dans un tournoi de football qui réunit n équipes, chaque équipe rencontre une fois les autres équipes. Le vainqueur d’un match obtient 3 points, le perdant 0 point et en cas de match nul, chaque ...
Problème proposé par Thérèse Eveilleau et Pierre Jullien On considère un treillis métallique qui est inscrit dans un cube de côté n entier ≥3 et dans lequel on peut loger des cubes pleins de dimension ...
Zig et Puce se rendent à la Fête à Neu-Neu où l’un des forains propose une attraction constituée de six paires de disques concentriques (voir figures ci-dessous) portant les étiquettes n° 4,5,6,7,8 ...
On se fixe un entier n. Dix entiers distincts sont placés sur le sommets d’un décagone régulier de sorte que le produit de deux entiers non adjacents sur le décagone est un multiple de n et le ...
Q1 Zig écrit au tableau noir l'équation du 3ème degré x3 + _x2 + _x + _ = 0 dans laquelle il y a trois cases vides qui correspondent aux coefficients de x2 et de x et au terme constant. Il annonce un ...
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin Six orateurs, A, B, C, D, E, F, doivent prendre la parole dans ce colloque,mais on a mélangé leurs dossiers et aucun d’eux ne porte le badge avec ...
1ère partie Douze billes sont réparties sur une même rangée avec une seule bille dans la première case, une case vide et les onze autres billes qui sont accolées les unes aux autres dans les ...
Variante de l'énigme E450 proposée par Jean Moreau de Saint Martin Sur le même damier que dans l'énigme E450, de dimensions 12x12 avec un pion blanc et un pion noir sur chacune des 12 rangées, ...
Sur chaque sommet d"un pentagone régulier on inscrit dans le sens horaire les entiers relatifs: ‒ 18153, ‒ 24204, 46391, ‒ 48408, 54459 Si sur trois sommets consécutifs se trouvent placés les entiers ...
A la récréation, le maître d'école invite le petit Nicolas et ses camarades ‒ sauf Eudes qui est toujours en retard ‒ à former un grand cercle et il leur annonce la distribution d'un paquet de ...
Problème proposé par Michel Lafond Pour les entiers n appartenant à l'ensemble et plus si inspiration : - ou bien construire une grille rectangulaire de mots croisés avec moins de cases ...
Problème proposé par Michel Lafond en hommage au cinéaste japonais Takeshi Kitano. On dit qu’un entier naturel N est de type Jn si N peut être écrit en utilisant une fois et une fois seulement ...
A l'Auberge du Chapeau, 24 convives sont assis autour d'une grande table circulaire. Chacun d'eux porte un chapeau, noir ou blanc, dont il ignore la couleur mais peut voir la couleur des chapeaux portés ...
Zig cherche dans l'ensemble des entiers un sous-ensemble E de cardinal maximal tel que le produit de trois éléments quelconques de E n'est jamais un carré parfait. De son côté Puce cherche dans l'ensemble ...
Problème proposé par Michel Lafond Q1 - Trouver tous les ensembles composés de 6 nombres entiers strictement positifs tels que les 20 sommes obtenues en ajoutant de toutes les manières possibles trois ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Novembre 1914, Fort de Bitche « Mon Colonel, nous avons intercepté ce message hier : 47355155882548288226551288225485554873551665882288225555487312877889626826425354 ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre
Un seul nombre vous manque, et tout est ... Non, tout n'est pas depeuplé, bien au contraire! Quel est le nombre oublié dans la case blanche F11 ?
Thérèse ...
Problème proposé par Michel Lafond
n étant un entier donné, on appelle triangle arithmétique d’ordre n [notation:TAn ] le schéma constitué de n suites de nombres entiers positifs, disposées en n ...
Problème proposé par Dominique Chesneau On a disposé des perles rouges , vertes , ou bleues sur un gâteau partagé en 18 parts . Est-on certain de pouvoir choisir 10 parts contenant au moins la ...
Problème proposé par Dominique Chesneau On fournit à un robot-puce la suite des puissances de 2 et de 3 rangées en ordre croissant:2,3,4,8,9,16,27,32,.. Il se promène sur la droite graduée en partant ...
Problème proposé par Dominique Chesneau Zig et Puce ont mis au point un petit tour de magie divinatoire . Ils disposent d’un jeu de 36 cartes dont le recto est uniformément colorié en Rouge, Jaune, ...
Problème proposé par Dominique Chesneau On considère un entier en écriture décimale. On insère librement des signes « + » entre certains chiffres puis on effectue la somme : c’est une première étape. ...
Problème proposé par Marc Foubert Le roi d'Argolide confie à Hercule la mission de tuer sept hydres à têtes multiples qui hantent les marais de Lerne. Pour mener à bien sa mission, Hercule ...
Dans cette île britannique de l’Arctique, il y a 2020 pingouins qui se dandinent en direction de leur cantine favorite.Ils tiennent dans leur bec des tickets tous différents numérotés de ...
Problème proposé par Stéphane Rézel Zig remarque qu’en remplaçant chaque chiffre de 4231 par son énième chiffre en prenant comme index le chiffre considéré, il obtient 1234. Le chiffre 4 est remplacé ...
Zig annonce à Puce : « J’ai classé selon mon bon vouloir les entiers naturels allant de 1 à un million en deux catégories : les bons et les mauvais ». Puce : « Comment puis-je savoir si un entier ...
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin Q1 A partir des relations f(0) = 0, f(2n) = f(n), f(2n + 1) = 1 − f(n), déterminer f(2020). Q2 Déterminer le nombre d’entiers n de 0 à 2020 tels que ...
Zig et Puce proposent un tour de magie à l’assemblée des lecteurs de diophante.fr et présentent treize boites vides fermées qui sont alignées sur une même rangée. Zig quitte la pièce. Une personne ...
Problème proposé par Dominique Chesneau On considère un pentagone pas nécessairement convexe dont les angles sont des multiples de 60° et les sommets aux nœuds d’un réseau hexagonal régulier d’aire ...
Problème proposé par Pierre Jullien
Dominique Chesneau et Pierre Jullien ont résolu le problème.
Problème proposé par Bernard Vignes Diophante a aligné 20 croissants et 20 pains au chocolat sur une même rangée dans un ordre quelconque. Zig et Puce prennent à tour de rôle une viennoiserie ...
Problème proposé par Dominique Chesneau Zig envisage de peindre la totalité d’un ballon sphérique avec un seul motif connexe, reproduit six fois avec des couleurs différentes. Le ballon ...
Problème proposé par Michel Cayrol On considère un jeu de 2n cartes (n>0). Les nombres de 0 à 2n −1 sont imprimés sur les faces des cartes. Les cartes sont empilées, faces vers le bas, initialement ...
On agence n allumettes de même longueur de manière à obtenir un graphe d’un seul tenant dessiné sur un plan, dont toutes les arêtes sont des segments de droite qui peuvent de rencontrer en des points ...
Zig trace 2023 points le long de la circonférence d’un grand cercle puis choisit l’un quelconque d’entre eux désigné par P1 qu’il marque à l’encre rouge, puis dans le sens horaire il marque toujours ...
Diophante choisit un nombre premier p > 3 et écrit au tableau l’ensemble E1 des p entiers consécutifs . A tour de rôle Zig et Puce choisissent un terme i de E1 qui n’a pas été choisi auparavant ...
Zig le magicien et son assistant Puce présentent le tour de cartes suivant. Zig sort de la pièce. Puce prend un jeu de 100 cartes numérotées de 1 à 100 et demande à trois spectateurs de choisir à tour ...
Zig joue contre l’ordinateur le tournoi de la « Bataille rangée » qui se déroule de la manière suivante : - le tournoi se joue en dix parties, - au début du tournoi, l’ordinateur choisit au ...
Problème proposé par Kaustuv Sengupta Diophante s’adresse à Zig : « J’ai conçu une division (Di) d’un entier N à cinq chiffres par un entier D à deux chiffres. Elle tombe « juste » avec un quotient ...
Problème proposé par Dominique Chesneau Des cartes sont en nombre pair et sur chacune d’elles est inscrit un nombre réel . On s’autorise à remplacer l’inscription sur deux cartes par leur somme. Est-on ...
Problème proposé par Pierre Henri Palmade Pour tout entier positif n, on définit la suite a(1) = 1, a(2n) = a(n) et a(2n+1) = a(n) + a(n+1). Montrer que pour tout couple (p, q) d’entiers premiers entre ...
Zig et Puce s’affrontent dans le jeu suivant : Diophante choisit au hasard un entier N compris entre 21 et 36 (bornes incluses) puis écrit l’entier 12 sur le tableau noir.Zig commence la partie quand ...
Pour mesurer le temps de cuisson de ses plats préférés, Zig dispose de trois mèches et d’un briquet. La première mèche brûle exactement en16 minutes, la deuxième en 24 minutes et la troisième ...
Problème proposé par Kaustuv Sengupta Diophante choisit un entier N dont les quatre chiffres distincts différents de zéro sont dans un ordre croissant de gauche à droite a < b < c < d ...
Problème proposé par Dominique Chesneau Zig et Puce s'affrontent dans un tournoi de pâte à modeler à plusieurs rondes . Initialement la pâte forme un bloc unique posé sur la table puis Zig et Puce ...
Problème proposé par Raphaël Nanchen On donne une grille de départ n x n , composées de n2 cases blanches. Chaque fois qu’on clique sur une case, la couleur de la case change, ainsi que la couleur ...
Soient neuf points du plan dont les distances entre deux quelconques d’entre eux sont mesurées par des nombres entiers. Démontrer que six d’entre elles au moins sont divisibles par 3. Généralisation ...
Je dispose d’une urne qui contient 2011 boules bleues et rouges mais sa composition est pour moi un mystère. Toutes les configurations de x boules bleues et 2011 – x boules rouges avec 0 <= x <= ...
Ouroboros, le serpent géant qui se mord la queue, s’installe dans une cour constituée de 2011 * 2011 dalles carrées de dimension unité. A chaque déplacement d’une dalle à une dalle adjacente ayant ...
Combien y a-t-il de plans distincts entre eux qui passent par les milieux de trois arêtes d’un cube ?
Maxime Klein,Michel Lafond,Pierre Henri Palmade,Jean Moreau de Saint Martin,Claude Felloneau,Maurice ...
Problème proposé par Michel Lafond Si n est un entier positif, on appelle forêt d’ordre n l’ensemble des arbres situés aux points du plan de coordonnés entières (x , y) vérifiant 1 <= x =<= n ...
Problème proposé par Pierre Jullien
Première partie Avec les lettres de DIOPHANTE, on peut écrire 9 ! (360 880) mots dans lesquels chaque lettre apparaît une unique fois. En rangeant tous ces mots ...
Zig, Puce et Alfred le pingouin ont gagné à la loterie une somme S qui est un nombre entier impair d’euros.Ils constatent qu’il y a au maximum 2011 façons de répartir S en trois montants entiers d’euros ...
Problème proposé par Christian Romon Le jeu de la grimpette consiste à lancer un dé plusieurs fois de suite, du moins tant que le chiffre obtenu ne décroit pas et l’on s'arrête à la première valeur ...
A,B et C disposent respectivement de a,b et c pièces de 1 € ,a ≤ b ≤ c ≤ 20, et décident de faire des parties de « Gagne en solo » selon les règles suivantes : dans une partie, chacun lance l’une ...
