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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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G268. Anagrammes diophantiennes Imprimer Envoyer
G2. Combinatoire - Dénombrements
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Problème proposé par Pierre Jullien

Première partie
Avec les lettres de DIOPHANTE, on peut écrire 9 ! (360 880) mots dans lesquels chaque lettre apparaît une unique fois.
En rangeant tous ces mots par ordre alphabétique, à quel rang R le mot DIOPHANTE apparaît-il ? Quel mot apparaît au rang 2011 ?

Deuxième partie
Une autre manière d’obtenir tous ces mots est de dresser un tableau factoriel, de type 1. Partant d’une anagramme de DIOPHANTE, par exemple : PHODATINE, on écrit sur la première ligne la première lettre P. Puis sur la deuxième ligne, on insère la deuxième lettre H, pour obtenir la liste : HP  PH. On recommence pour les lignes suivantes : pour chacun des mots de la liste n-1(gardés dans l’ordre), on intercale, de gauche à droite, la nième lettre, aux rangs 1, 2, …, n. Ainsi, sur la troisième ligne, on obtient  OHP  HOP  HPO (à partir de HP) puis OPH  POH  PHO (à partir de PH).D’où le début du tableau :
P
HP  PH
OHP  HOP  HPO  OPH  POH  PHO
DOHP  ODHP  OHDP  OHPD  DHOP  HDOP  HODP  HOPD  DHPO  HDPO  etc.
Ainsi on obtient, sur la neuvième ligne, tous les mots construits avec toutes les lettres de PHODATINE, utilisées chacune une fois.
Quel doit être l’anagramme de départ d’un tableau factoriel de type 1, pour que le mot DIOPHANTE apparaisse dans la neuvième ligne, au rang R obtenu précédemment ? Quel mot apparaît au rang 2011, dans cette neuvième ligne ?

Troisième partie   
Une troisième manière d’obtenir tous ces mots est de dresser un tableau factoriel, de type 2. Partant d’une anagramme de DIOPHANTE, par exemple : PHODATINE, on écrit sur la première ligne la première lettre P. Puis sur la deuxième ligne, on insère, de gauche à droite, la deuxième lettre H, pour obtenir HP  PH. On recommence, en introduisant une nouvelle lettre pour toute la liste précédente, au rang 1, puis au rang 2, etc.D’où le début du tableau :
P
HP  PH
OHP  OPH  HOP  POH  HPO  PHO
DOHP  DOPH  DHOP  DPOH  DHPO  DPHO  ODHP  ODPH  HDOP  PDOH  etc.
Comme précédemment, on obtient, sur la neuvième ligne, tous les mots construits avec toutes les lettres de PHODATINE, utilisées chacune une fois.
Quel doit être l’anagramme de départ d’un tableau factoriel de type 2, pour que le mot DIOPHANTE apparaisse dans la neuvième ligne, au rang R obtenu précédemment ? Quel mot apparaît au rang 2011, dans cette neuvième ligne ?



Les bonnes réponses sont respectivement:
Q1: 58852 et ADIPOTEHN,
Q2: AOINEPTHD et ENIDPOATH,
Q3: OEADPTNHI et IHAENOPTD.
David Amar,Maurice Bauval,Maxime Klein,Patrick Gordon,Pierre Henri Palmade et l'auteur du problème Pierre Jullien ont résolu tout ou partie du problème.
Par ailleurs Thérèse Eveilleau,bien connue de nos lecteurs pour son site Bienvenue en Mathématiques magiques,a conçu un script qui permet de résoudre le problème dans le cas général selon les trois manières envisagées d'obtenir tous les mots écrits avec les lettres de DIOPHANTE. Nous l'en remercions chaleureusement.
 
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