Q?:  On dispose d’un tas appelé A de 2013 cartes numérotées dans cet ordre de 1 à 2013.On fait passer la carte n°1 qui est sur le dessus en dernière position puis on met la carte n°2 sur un deuxième tas B. On continue en faisant passer la carte n°3 en dernière position du tas A et on pose la carte n°4 sur la carte n°2 du tas B. Le processus se poursuit jusqu’au transfert complet des cartes du tas A vers le tas B. Quel est dans le tas B le rang de la carte n°1 calculé à partir du dessus du tas ?

Q?: On opère comme précédemment avec des tas ayant n cartes, n prenant successivement les valeurs des entiers naturels 1,2,3,... et pour chacun de ces tas on détermine le rang u_n de la carte n°1 dans le tas B.Donner la forme générale de u_n en fonction de n et démontrer que tous les entiers naturels 1,2,3,... apparaissent au moins une fois dans cette suite.

Q?: Dans la suite u_n , on supprime successivement une fois et une seule les entiers 1,2,3,.... chaque fois qu’ils apparaissent pour la première fois. On obtient ainsi une deuxième suite dont la terme général est v_k. Comparer les suites u_n et v_k.

Q?: On écrit sur la 1^ère ligne d’un tableau tous les entiers naturels 1,2,3,...
      puis sur la 2^ème ligne ces mêmes entiers séparés d’une case,
      puis sur la 3^ème ligne ces entiers séparés de 2 cases,...,
      puis sur la k^ième ligne les entiers séparés de (k-1) cases et ainsi de suite.
On place un cavalier sur une case vide (i.e. ne contenant pas un nombre entier) quelconque de la 2^ème ligne en notant l’entier n qui se trouve juste au-dessus sur la 1^ère ligne. Comme au jeu des échecs, on fait avancer le cavalier qui se retrouve dans une case située deux cases plus bas et une case vers la gauche.Si la case est vide, on continue le parcours selon la même règle et on s’arrête quand le cavalier se pose pour la première fois sur une case qui comporte un nombre entier appelé w_n .Démontrer que la suite w_n est identique à la suite u_n.

E124-solution.pdf
Les trois premières questions de ce problème sont une illustration d'une séquence fractale découverte par Clark Kimberling (l'auteur de la fameuse Encyclopedia of Triangle Centers). On lira avec intérêt deux articles (en anglais) qu'il a écrits sur les séquences fractales et leurs propriétés.Fractal sequences-C.Kimberling-01 et Fractal sequences-C.Kimberling-02.
Deux autres articles complètent la réponse à la quatrième question : Chemins dans un tableau arithmétique de Benoit Cloitre et  La marelle arithmétique de Jean-Paul Delahaye, chroniqueur bien connu de Pour la Science.