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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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E124. Jeux de cartes et d'échecs Imprimer Envoyer
E1. Suites logiques

calculator_edit.png  

Q?:  On dispose d’un tas appelé A de 2013 cartes numérotées dans cet ordre de 1 à 2013.On fait passer la carte n°1 qui est sur le dessus en dernière position puis on met la carte n°2 sur un deuxième tas B. On continue en faisant passer la carte n°3 en dernière position du tas A et on pose la carte n°4 sur la carte n°2 du tas B. Le processus se poursuit jusqu’au transfert complet des cartes du tas A vers le tas B. Quel est dans le tas B le rang de la carte n°1 calculé à partir du dessus du tas ?

Q?: On opère comme précédemment avec des tas ayant n cartes, n prenant successivement les valeurs des entiers naturels 1,2,3,... et pour chacun de ces tas on détermine le rang un de la carte n°1 dans le tas B.Donner la forme générale de un en fonction de n et démontrer que tous les entiers naturels 1,2,3,... apparaissent au moins une fois dans cette suite.

Q?: Dans la suite un , on supprime successivement une fois et une seule les entiers 1,2,3,.... chaque fois qu’ils apparaissent pour la première fois. On obtient ainsi une deuxième suite dont la terme général est vk. Comparer les suites un et vk.

Q?: On écrit sur la 1ère ligne d’un tableau tous les entiers naturels 1,2,3,...
      puis sur la 2ème ligne ces mêmes entiers séparés d’une case,
      puis sur la 3ème ligne ces entiers séparés de 2 cases,...,
      puis sur la kième ligne les entiers séparés de (k-1) cases et ainsi de suite.
On place un cavalier sur une case vide (i.e. ne contenant pas un nombre entier) quelconque de la 2ème ligne en notant l’entier n qui se trouve juste au-dessus sur la 1ère ligne. Comme au jeu des échecs, on fait avancer le cavalier qui se retrouve dans une case située deux cases plus bas et une case vers la gauche.Si la case est vide, on continue le parcours selon la même règle et on s’arrête quand le cavalier se pose pour la première fois sur une case qui comporte un nombre entier appelé wn .Démontrer que la suite wn est identique à la suite un.



pdfE124-solution.pdf
Les trois premières questions de ce problème sont une illustration d'une séquence fractale découverte par Clark Kimberling (l'auteur de la fameuse Encyclopedia of Triangle Centers). On lira avec intérêt deux articles (en anglais) qu'il a écrits sur les séquences fractales et leurs propriétés.pdfFractal sequences-C.Kimberling-01 et pdfFractal sequences-C.Kimberling-02.
Deux autres articles complètent la réponse à la quatrième question : pdfChemins dans un tableau arithmétique de Benoit Cloitre et  pdfLa marelle arithmétique de Jean-Paul Delahaye, chroniqueur bien connu de Pour la Science.

 
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