Problèmes par thèmes E. Logique - Autoréférences E6. Autres casse-tête E688. Sauver les apparences
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| E688. Sauver les apparences |
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| E6. Autres casse-tête |
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Problème proposé par Thérèse Eveilleau et Pierre Jullien
On considère un treillis métallique qui est inscrit dans un cube de côté n entier ≥3 et dans lequel on peut loger des cubes pleins de dimension unité en nombre ≤ n3. Exemple : pour n = 3,ci-après un treillis vide,un treillis contenant 27 cubes pleins et un treillis contenant 10 cubes pleins. Q1 Exprimer en fonction de n le plus petit nombre de cubes pleins de dimension unité que l’on doit placer à l’intérieur du treillis de sorte que celui-ci,vu de face, de profil et de dessus (perpendiculairement à chacune des faces),fait apparaître des carrés pleins (c’est à dire sans trou) de côté n. Q2 Même question que précédemment avec la contrainte supplémentaire suivante : à partir de n’importe quel petit cube unité, on peut atteindre un autre cube unité le long d’une chaine de cubes telle que deux cubes adjacents ont une face commune. Q3 Exprimer en fonction de n le plus petit nombre de cubes pleins de dimension unité que l’on doit placer à l’intérieur du treillis de sorte que de n’importe quel point de vue, le treillis garde la même apparence qu’un treillis rempli de n3 cubes ou en d’autres termes, si on soumet le treillis aux rayons incidents d’une source lumineuse quelconque, le contour convexe de l’ombre portée ne contient jamais un quelconque trou. On trouvera sur le site Bienvenue en Mathématiques magiques de Thérèse Eveilleau la réponse à la première question avec des animations qui illustrent très clairement le remplissage d'un grand cube 3x3 à l'aide de 27 petits cubes.  Patrick Gordon a égalemnt répondu à cette première question.De son côté PIerre Jullien donne la solution de la troisième question.Enfin Marie-Christine Piquet donne la solution complète du problème. |
