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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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E122. Des tas de sable primophiles Imprimer Envoyer
E1. Suites logiques

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Des tas de sable sont alignés les uns à la suite des autres et portent les numéros 1,2,3,....,n,.... Le premier tas est vide,le second contient deux grains de sable et le troisième en contient trois. A partir du quatrième tas, le nombre de grains de sable du kième tas est égal à la somme du nombre de grains de sable de l’anté-antépénultième tas (n° = k – 3) et du nombre de grains de sable de l’antépénultième tas (n° =  k – 2). Démontrer que pour tout tas dont le numéro est un nombre premier p, le nombre de grains de sable est un multiple de p.
Question subsidiaire : est-il vrai que lorsque le numéro d’un tas est un nombre composé m quelconque, le nombre de grains de sable de ce tas n’est jamais un multiple de m ?


De nombreux lecteurs n'ont pas manqué d'identifier cet ordonnancement des tas de sables primophiles comme une copie conforme de la suite de Perrin présentée par R.Perrin en 1899 dans la revue l'Intermédiaire des Mathématiciens. Au fil des années,cette suite à fait l'objet de nombreux articles y compris jusqu'en 1982 où W. Adams et D. Shanks ont démontré que le tas n° 271441 est le premier tas dont le numéro est composé (= 5212 ) et dont le nombre de grains de sable est un multiple de ce nombre, donnant ainsi la réponse à la question subsidiaire.

Il existe plusieurs démonstrations de la curieuse propriété des tas de sables primophiles :
- la plus courante fondée sur la théorie des nombres et les propriétés de l'équation caractéristique x3 - x - 1 = 0 associée à la relation de récurrence un = un-2 + un-3  a été donnée par pdfJean Moreau de Saint-Martin,pdfJean Drabbe,pdfMichel Lafond,pdfJacques Guitonneau,pdfPaul Voyer,pdfJean Nicot,pdfFrancesco Franzosi,pdfPierre Henri Palmade,pdfDaniel Collignon,pdfAntoine Verroken, pdfMarie-Christine Piquet et Pierre Leteurtre.
- parmi les autres solutions, on peut retenir celle depdfMaurice Bauval qui utilise la fonction génératrice associée à la suite un et celle de pdfBernard Vignes  qui a fait appel à l'analyse combinatoire.

 
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