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Plus de 2000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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E563. Une partie en cinq manches Imprimer Envoyer
E5. Enigmes logiques

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Diophante fixe un entier positif n. Zig choisit n nombres entiers positifs pas nécessairement distincts et écrit toutes les sommes des termes pris 2 à 2 qu’il montre à Puce. Puce gagne le manche s’il trouve les n nombres initialement choisis par Zig.
Diophante fixe successivement cinq valeurs de n = 4,5,6,7 et 8.Qui gagne cette partie en cinq manches ?


Ce problème a ete posé pour la première fois par L. Moser dans la revue "The American Mathematical Monthly" en 1957 et il a été repris pour n = 5,6 et 8 à l'occasion des Olympiades de mathématiques dans les Balkans en 2013. Plusieurs lecteurs ont noté que pour tout n Puce parvient toujours après d'éventuels tâtonnements à trouver une suite d'entiers dont les sommes des termes pris 2 par 2 coïncident avec la liste fournie par Zig.
La difficulté du problème consiste à démontrer que pour chaque valeur de n la suite trouvée par Puce est unique ou non. Si c'est le cas, Puce est vainqueur de la manche. A l'inverse, Zig est le vainqueur dès lors qu'il peut mettre en avant une autre suite qui donne les mêmes sommes. C'est vrai pour n égal à toute puissance de 2. Par exemple pour n = 4, les suites {1,5,7,9} et {2,4,6,10} donnent les mêmes sommes: 6,8,10,12,14,16.
Puce gagne donc la partie par 3 manches contre 2 et non sur le score de 5 à 0 qui vient naturellement à l'esprit.
pdfBernard Vignes a résolu le problème et s'est référé pour n = 7 à un article de John L. Selfridge et Ernst Gabor Straus qui a paru dans "Pacific Journal of Mathematics" et qui traite le problème dans le cas général des sommes de termes pris s par s: pdfOn the determination of numbers by their sums of a fixed order.

 
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