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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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E6906. Zig joue la Pythie Imprimer Envoyer
E6. Autres casse-tête

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Zig annonce à Puce : « J’ai classé selon mon bon vouloir les entiers naturels allant de 1 à un million en deux catégories : les bons et les mauvais ».
Puce : « Comment puis-je savoir si un entier n quelconque est bon ou mauvais »
 Zig (à la manière de la Pythie de Delphes) : «  Je ne répondrai jamais directement sur la nature de ce nombre n. Pour tout entier k que tu choisis, distinct ou non de n, la seule question que tu pourras me poser sera de la forme : quelle est la somme des bons entiers diviseurs de l’entier k ?
En réponse, je te donnerai cette somme.
Supposons, juste à titre d’exemple, que j’ai décidé que 1 et 6 sont bons et que 2 et 3 sont mauvais et supposons que tu choisisses k = 6, à la question : quelle est la somme des bons entiers diviseurs de 6, ma réponse serait 7.
En posant autant de questions que tu le souhaites avec des entiers k de ton choix, tu dois parvenir à identifier la nature de l’entier n que tu as initialement choisi. »

Q1 Démontrer qu’il existe une infinité d’entiers n avec lesquels une seule question permet à Puce de savoir s’ils sont bons ou mauvais.
Q2 Puce peut-il savoir en une seule question si l’entier 2019 est bon ou mauvais ? si l’entier 2020 est bon ou mauvais ?
Q3 Trouver un entier n > 2020  pour lequel Puce doit poser deux questions afin de connaître sa nature.
Q4 Trouver un entier n, si possible le plus petit, pour lequel Puce doit poser trois questions afin de connaître sa nature.
Q5 Démontrer que pour tout n inférieur ou égal à un million, Puce peut connaître sa nature en posant quatre questions au plus.





pdfClaude Felloneau,pdfThérèse Eveilleau,pdfJacques Guitonneau,pdfDaniel Collignon ont résolu tout ou partie du problème.
Cette énigme de la Pythie est une variante d'un problème posé dans le cadre de la  compétition "Bay Area Mathematical Olympiad" organisée en 2019 à Berkeley (Californie). Une traduction de la solution officielle de la question n°5, la plus délicate, est donnée dans le document pdfBAMO2019-Q5

 
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