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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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E209. Les nombres distillés Imprimer Envoyer
E2. Autoréférences
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Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin

On écrit un nombre N à 10 chiffres qui ne comportent pas 10 fois le même chiffre (ex : 3 333 333 333) ou qui n’ont pas des chiffres tous différents (ex : 3 706 589 421). On écrit ensuite le nombre dit « distillé » formé dans l’ordre par le nombre de chiffres 0, le nombre de chiffres 1,etc...le nombre de chiffres 9. On répète l’opération jusqu’à avoir une situation stabilisée caractérisée par un nombre terminal ou par  un cycle fermé de deux nombres distillés ou plus.
Q₁ Déterminer toutes les situations stabilisées.
Q₂ Quel est le plus petit nombre de distillations qui permette d'obtenir une situation stabilisée, quel que soit l'entier N de départ ? Est-ce le même pour les diverses situations stabilisées ?
Q₃ Dénombrer (de préférence autrement que par énumération brutale sur ordinateur) les entiers N selon la situation stabilisée où ils conduisent, avec subdivision par nombre de distillations nécessaires pour atteindre cette situation.

Pour les plus courageux : étendre le problème en donnant des exemples avec les nombres de b chiffres en base b.

 


Michel Lafond et Jean Moreau de Saint Martin ont résolu le problème.

 
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