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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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E628. La roue tourne Imprimer Envoyer
E6. Autres casse-tête

calculator_edit.png  

Zig et Puce se rendent à la Fête à Neu-Neu où l’un des forains propose une attraction constituée de six paires de disques concentriques (voir figures ci-dessous) portant les étiquettes n° 4,5,6,7,8 et 9.
        E628-1
Dans chaque paire, le disque extérieur et le disque intérieur sont divisés en k secteurs angulaires identiques, avec k = numéro de l’étiquette.
 
Dans les k secteurs de chaque disque extérieur le forain a placé une fois pour toutes des jetons de k couleurs différentes.
Zig tire au sort l’étiquette k de la paire de disques avec laquelle il va jouer la partie.Puis il tire au sort un deuxième entier j compris entre 2 et k (2≤ j ≤ k) et place sur les k secteurs du disque intérieur k jetons de j couleurs différentes choisies parmi les couleurs disposées sur le disque extérieur.
Par exemple pour k = 6 et j = 3, on peut avoir la disposition suivante des jetons sur le disque extérieur et sur le disque intérieur:
                                          E628-2
                                                    
Le forain fait tourner le disque intérieur secteur par secteur, k fois jusqu’à revenir à la position initiale.Zig gagne la partie si dans chaque position du disque intérieur, un seul jeton est de la même couleur que le jeton du disque extérieur placé dans le même secteur.
Zig place les k jetons sur le disque intérieur de manière à optimiser ses chances de gain. Quelle est la probabilité de gain de Zig ?
Pour les plus courageux : donner une formulation générale des couples (k,j) gagnants pour k quelconque > 2 et 2 ≤ j ≤ k.


pdfBenjamin Delay,pdfPierre Henri Palmade,pdfFrancesco Franzosi et Antoine Verroken ont résolu le problème.

Nota:
Ce problème est une variante du problème "Problème du forain et des n couleurs" diffusé il y a plusieurs années par F. Lo Jacomo dans le cadre d'Animath. On en retouve une version équivalente avec l'énigme "Rotating round table" qui apparaît pour la première fois en 1968 dans l'ouvrage "Mathematical Circus" de Martin Gardner (p 182 et suivantes).
Plus récemment,en 2006, Karine Godot l'a pris pour exemple sous le titre "La roue aux couleurs"  dans sa thèse "Situations recherche et jeux mathematiques pour la formation et la vulgarisation" (voir chapitre 4 p.31 et suivantes)

 
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