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E6. Autres casse-tête

E6911. Des pingouins très british

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E6911. Des pingouins très british

E6. Autres casse-tête

Dans cette île britannique de l’Arctique, il y a 2020 pingouins qui se dandinent en direction de leur cantine favorite.Ils tiennent dans leur bec des tickets tous différents numérotés de 1 à 2020.
Pour éviter la bousculade lors de l’entrée dans la cantine, ils sont priés de constituer préalablement une queue unique. Selon l’ordre croissant des numéros des tickets, chaque pingouin obéit aux règles suivantes :
-   le pingouin n°1 est le premier de la queue,
-   pour tout entier k > 1, le pingouin qui détient le ticket n° k calcule le plus grand entier m < k qui divise k et il se met dans la queue immédiatement derrière le pingouin porteur du n° m.
-   le processus se poursuit jusqu’au pingouin n°2020.
Quand la queue est ainsi constituée,déterminer:
Q₁ Les numéros portés par les dix premiers pingouins de la queue.
Q₂ Les numéros portés par les dix derniers pingouins de la queue.
Q₃ Le nombre de pingouins qui sont derrière le pingouin porteur du ticket n°1152
Q₄ Le nombre de pingouins qui sont devant le pingouin porteur du ticket n°800
Q₅ Les numéros portés par les pingouins qui sont devant et derrière le pingouin porteur du ticket n°33
Q₆ La position du pingouin porteur du ticket n° 2020.
Source : British Mathematical Olympiad 2019
Nota : pour résoudre le problème, il est conseillé d’utiliser la table des nombres premiers ≤ 2020.

Solution