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Plus de 2000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :

Très facile

Facile

Moyen

Difficile

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Variable

 

D'autre part, les problèmes se traitent généralement à la main et sont alors repérés par l'icône

 

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E656. Les PGCD donnent la clé Imprimer Envoyer
E6. Autres casse-tête
calculator_edit.png  

Zig choisit un entier naturel Nsigne_infouegal 2011. Pour le trouver, Puce choisit deux entiers positifs x et y signe_infouegal 2011 et pose des questions de la forme : quel est le PGCD des entiers x et N + y ? Zig lui répond par un entier z. Trouver les questions qui permettent à Puce de trouver N en moins de douze questions.
Application numérique : pour N = 1999,donner la séquence des couples (x,y) choisis par Puce.



Daniel Collignon,Pierre Henri Palmade,Jean Moreau de Saint Martin,Claude Felloneau,Pierre Jullien ont résolu le problème avec k = 11 questions qui respectent bien la condition k < 12.
Jean Drabbe fait l'économie de deux questions et propose une solution avec neuf questions, l'entier x restant égal à 840 au cours des huit premières questions et l'entier y prenant successivement les valeurs 1,2,...,8.
De son côté Michel Boulant parvient à se limiter à huit questions avec un raisonnement qui se résume de la manière suivante:
1) Avec les 6 questions successives (1680,1), (1680,2), (1680,3), (1680,4), (1680,5) et (1680,6), on obtient toujours comme réponse une séquence ordonnée S de six entiers (a,b,c,d,e,f) dans lesquels on trouve, pas nécessairement dans le même ordre, 5 entiers de la forme (2p,3q,4r,5s,6t) avec p,q,r,s,t entiers >=1.Par ailleurs si dans la séquence S,il n'y a aucun multiple de 7, alors le nombre cherché est lui-même un multiple de 7.
2) Pour une séquence ordonnée S,le théorème des restes chinois permet alors de dire dans un premier temps qu'il y a dans l'intervalle [0,2011] 4 valeurs possibles du nombre cherché N qui sont égales entre elles modulo 420 puis une analyse plus fine montre que ce maximum de 4 valeurs est toujours ramené à 3.
3) Deux questions supplémentaires permettent alors d'identifier le bon candidat parmi les trois.
 
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